We study initial data in General Relativity, which are defined as solutions to the constraint equations. The focus in this talk is a modified version of the conformal method proposed by David Maxwell. While the model seems more strongly justified from a geometrical standpoint, the resulting system becomes significantly moreWe study initial data in General Relativity, which are defined as solutions to the constraint equations. The focus in this talk is a modified version of the conformal method proposed by David Maxwell. While the model seems more strongly justified from a geometrical standpoint, the resulting system becomes significantly more difficult to solve; it presents critical nonlinear terms, including gradient terms. We describe existence and stability while working in dimensions 3,4 and 5, under smallness assumptions and in the presence of a scalar field with positive potential. The tools we use are related to obtaining a priori estimates (compactness results) and a fixed-point theorem.

Dans cet exposé, j'introduirai le problème de Cauchy classique pour les équations d'Einstein. J'expliquerai certaines de ses propriétés géométriques et présenterai les équations comme un système d'équations quasi-linéaires de transports, elliptiques et de Maxwell couplées. Je présenterai la conjecture d'existence globale en temps pour ces équations (aussi connue comme la conjecture de censure cosmique de Penrose) et pourquoi celle-ci motive l'obtention de résultats d'existence locale en faible régularité. Dans ce contexte, je passerai en revue le théorème de courbure L2 de Klainerman-Rodnianski-Szeftel et présenterai une version généralisée à des données initiales posées sur une hypersurface caractéristique que j'ai obtenue avec Stefan Czimek.