L'opérateur d'Anderson est l'opérateur de Schrödinger aléatoire avec comme potentiel le bruit blanc espace, une distribution aléatoire de régularité Hölder négative. Dans cet exposé, je vais présenter la construction de cet opérateur sur une surface compacte avec des outils d'analyse harmonique et une procédure stochastique de renormalisation. Une fois cet opérateur construit, on peut s'intéresser à sa théorie spectrale et étudier des équations d'évolution associées comme l'équation de la chaleur ou l'équation de Schrödinger, linéaires et non-linéaires.

In this presentation, I will describe a deterministic mechanism by which several smaller scales and new phases can arise suddenly under the impact of a forcing term in nonlinear flows. This phenomenon is derived from a multiscale and multiphase analysis of nonlinear differential equations involving stiff oscillating source terms. Under integrability conditions, we show that the blow-up procedure (a type of normal form method) and the Wentzel-Kramers-Brillouin approximation (of supercritical type) are applied to obtain the existence of solutions during long times, as well as asymptotic descriptions and reduced models. Then, the outcomes are applied to study a special class of oscillating Hamilton-Jacobi equations.