Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats concernant l’étude probabiliste de graphes (ou cartes) planaires aléatoires. Cette théorie, initiée par Angel et Schramm au début des années 2000, vise à comprendre les propriétés géométriques de graphes planaires aléatoires dont la taille tend vers l’infini. Les travaux de Le Gall et Miermont ont notamment permis de montrer la convergence de certains modèles vers une surface aléatoire universelle, la carte brownienne, qui constitue un analogue du mouvement brownien pour la sphère. Après une introduction à ces résultats, nous nous intéresserons à la géométrie de cartes planaires aléatoires ayant de grandes faces, appelées cartes stables. (Travaux en partie en commun avec Nicolas Curien et Igor Kortchemski).

Le permuton séparable Brownien a été introduit par Bassino et. al. (2016) comme la limite d'échelle des permutations séparables. C'est une mesure aléatoire sur le carré unité,  construite à partir d'une excursion Brownienne décorée de signes indépendants et uniformes en chaque minimum local. Nous montrons une version plus directe de cette construction, qui permet d'identifier les propriétés géométriques (dimension de Hausdorff, autosimilarité) du support, et met au jour un lien avec un réordonnancement aléatoire de l'arbre continu Brownien.
Dans un second temps, nous parlerons des limites possibles pour les classes de permutations fermées par substitution, généralisations naturelles des permutations séparables.
(arXiv:1706.08333 avec F. Bassino, M. Bouvel, V. Feray, L. Gerin et A. Pierrot et arXiv:1711.08986)