Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 10^{∗}, 18.06.2010

Aufgabe 10.1. Sei M eine C^{∞} Mannigfaltigkeit und seien ω_{1} ∈ Ω^{p}(M), ω_{2} ∈ Ω^{q}(M). Beweise, dass w_{1} ∧ w_{2} eine C^{∞} (p + q)-Form ist.

Aufgabe 10.2. Sei f : M → N eine surjektive Submersion. Beweise, dass

f^{∗} : Ω^{∗}N → Ω^{∗}M

injektiv ist.

Aufgabe 10.3. Betrachte die Formen ω_{i} ∈ Ω^{∗}(ℝ^{3}) und η ∈ Ω^{∗}(ℝ^{2n}), die durch

\begin{aligned}ω_{1} & = x_{2}x_{3}dx_{1} + x_{1}x_{3}dx_{2} + x_{1}x_{2}dx_{3}, \\ ω_{2} & = x_{1}dx_{1} + x_{1}^{2}x_{2}^{2}dx_{2} + x_{2}x_{3}dx_{3}, \\ ω_{3} & = 2x_{1}x_{2}^{2}dx_{1} ∧ dx_{2} + x_{3}dx_{2} ∧ dx_{3}, und \\ η & = dx_{1} ∧ dx_{2} + dx_{3} ∧ dx_{4} + ⋯ + dx_{2n−1} ∧ dx_{2n} \end{aligned}

definiert sind.

(a) Bestimme, welche Formen aus {ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}} exakt und welche abgeschlossen sind.

(b) Berechne η^{∧n} ∈ Ω^{2n}(ℝ^{2n}).

Aufgabe 10.4. Sei ω ∈ Ω^{1}(ℝ^{2} \ {0}) gegeben durch

ω = −\frac{x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} dx_{1} + \frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} dx_{2} .

Zeige, dass ω abgeschlossen aber nicht exakt ist.

Aufgabe 10.5. Betrachte den Komplex

Ω^{0}(ℝ^{3}) ⟶^{d} Ω^{1}(ℝ^{3}) ⟶^{d} Ω^{2}(ℝ^{3}) ⟶^{d} Ω^{3}(ℝ^{3}) .

Mit Hilfe der kanonischen Basen von Ω^{i}(ℝ^{3}) als C^{∞}(ℝ^{3})-Moduln, gib explizite Formeln für d an.

∗Abgabe : Montag 28.06.2010 vor der Vorlesung. Die Aufgabe 10.5 wird nicht bewertet.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html