Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 11^{∗}, 25.06.2010

Aufgabe 11.1. Seien M und N zwei C^{∞} Mannigfaltigkeiten, f : M → N eine C^{∞} Abbildung. Der induzierte Homomorphismus f^{∗} : Ω^{∗}(N) → Ω^{∗}(M) hat die folgenden Eigenschaften:

(a) Für alle ω ∈ Ω^{p}(N) und η ∈ Ω^{q}(N) gilt f^{∗}(ω ∧ η) = (f^{∗}ω) ∧ (f^{∗}η).

(b) Für ω ∈ Ω^{0}(N) gilt f^{∗}ω = ω ∘ f,

(c) df^{∗} = f^{∗}d. Beweise (a) und (b) (womit (c) in der Vorlesung bewiesen wurde). Beweise auch, dass (a), (b) und (c) den Homomorphismus f^{∗} : Ω^{∗}(N) → Ω^{∗}(M) eindeutig charakterisieren.

Aufgabe 11.2. Sei ω ∈ Ω^{p}(M). Beweise, dass für alle X_{1}, …, X_{p+1} ∈ 𝔛(M) die folgende Formel gilt :

\begin{aligned}(dω)(X_{1}, …, X_{p+1}) = & ∑_{i=1}^{p+1}(−1)^{i+1}X_{i}(ω(X_{1}, …, X̂_{i}, …, X_{p+1}))+ \\ & ∑_{i<j}(−1)^{i+j}ω([X_{i}, X_{j}], X_{1}, …, X̂_{i}, …, X̂_{j}, …, X_{p+1}) . \end{aligned}

Hinweis: Verwende Aufgabe 8.2. Zeige zuerst, dass der rechte Aussdruck eine C^{∞}(M)-multilineare alternierende Form auf 𝔛(M)^{p+1} definiert. Es genügt dann, diese Formel für jede Karte (U, ϕ) und für X_{1}, …, X_{p+1} ∈ \{\frac{∂}{∂ϕ_{k}} | 1 ≤ k ≤ n\} zu beweisen, wobei n die Dimension von M ist.

Aufgabe 11.3. Sei ω ∈ Ω^{n−1}(ℝ^{n} \ {0}) gegeben durch

ω(x) = \frac{1}{∥x∥^{n}} ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+1}x_{i}dx_{1} ∧ ⋯ ∧ d̂x_{i} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} .

(a) Zeige, dass ω abgeschlossen ist.

(a) Im Fall n = 3 zeige, dass ω nicht exakt ist. Hinweis: Betrachte die Parametrisierung einer Teilmenge von S^{2} ⊂ ℝ^{3} \ {0}, die durch

ϕ : D = (0, 2π) × (0, π) → S^{2},
(α, β) ↦ (cos(α) sin(β), sin(α) sin(β), − cos(β))

gegeben ist. Berechne ∫_{D} fdαdβ, wobei f : D → ℝ durch ϕ^{∗}w = fdα ∧ dβ definiert ist.

Aufgabe 11.4. Sei 0 → A → B → C → 0 eine kurze exakte Folge von ℝ-Vektorräumen, mit A und C endlich-dimensional. Beweise, dass A ⊕ C und B isomorph sind.

∗Abgabe : Montag 5.07.2010 vor der Vorlesung.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html