Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 12^{∗}, 02.07.2010

Aufgabe 12.1. Sei 0 → C → D → E → 0 eine kurze exakte Folge von Kokettenkomplexen von ℝ-Vektorräumen. Beweise, dass die lange exakte Folge

⋯ → H^{p−1}(E) → H^{p}(C) → H^{p}(D) → H^{p}(E) → ⋯

in H^{p}(C) und H^{p}(D) für alle p ≥ 0 exakt ist.

Aufgabe 12.2. Sei C^{∞}(M, N) die Menge aller C^{∞} Abbildungen f : M → N. Beweise, dass f_{0} ≃ f_{1} eine Äquivalenzrelation auf C^{∞}(M, N) ist. Ferner seien g ∈ C^{∞}(P, M) und h ∈ C^{∞}(N, Q). Zeige, dass falls f_{0} ≃ f_{1}, so gilt auch hf_{0}g ≃ hf_{1}g in C^{∞}(P, Q).

Aufgabe 12.3. Seien n, k ≥ 1 und a_{1}, …, a_{k} verschiedene Punkte in ℝ^{n+1}. Berechne

H^{p}(ℝ^{n+1} \ {a_{1}, …, a_{k}})

für alle p ≥ 0.

Aufgabe 12.4. Betrachte den Torus T = S^{1} × S^{1}. Berechne H^{∗}(T) unter der Annahme, dass H^{2}(T) ≠ 0.

Aufgabe 12.5. Sei

\xymatrix{0 \ar[r] & A \ar[d]^{f} \ar[r] & B \ar[d]^{g} \ar[r] & C \ar[d]^{h} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A′ \ar[r] & B′ \ar[r] & C′ \ar[r] & 0}

ein kommutatives Diagramm von ℝ-Vektorräumen mit exakten Zeilen. Beweise, dass eine exakte Folge

0 → Kern(f) → Kern(g) → Kern(h) → Kokern(f) → Kokern(g) → Kokern(h) → 0

existiert.

∗Abgabe : Montag 12.07.2010 vor der Vorlesung. Die Aufgabe 12.5 wird nicht bewertet.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html