Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 13^{∗}, 09.07.2010

Aufgabe 13.1. Sei M eine C^{∞} Mannigfaltigkeit der Dimension n. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) M ist orientierbar.

(b) Eine n-Form ω ∈ Ω^{n}(M) existiert, mit ω_{p} ≠ 0 für alle p ∈ M.

Aufgabe 13.2. Sei M eine C^{∞} Mannigfaltigkeit mit Rand. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ein Vektorfeld X ∈ 𝔛(M) existiert, so dass X_{p} ≠ 0 und nach innen gerichtet ist, für alle p ∈ ∂M.

(b) Ist M orientiert, und ist ω ∈ Ω^{n}(M) eine Form, die die Orientierung bestimmt, so bestimmt i_{X}ω ∈ Ω^{n}(∂M) die induzierte Orientierung von ∂M. Hier ist i_{X}ω durch

i_{X}ω_{p}(v_{1}, …, v_{n−1}) = ω_{p}(v_{1}, …, v_{n−1}, X_{p})

für alle p ∈ ∂M und alle v_{1}, …, v_{n−1} ∈ T_{p}∂M definiert.

Aufgabe 13.3. Berechne H^{∗}(ℝP^{n}) für alle n ≥ 1. Beweise: ist n gerade, so ist ℝP^{n} nicht orientierbar. Hinweis: Sei π : S^{n} → ℝP^{n} die kanonische Projektion, und sei a : S^{n} → S^{n} die Einschränkung der antipodalen Abbildung ℝ^{n+1} → ℝ^{n+1}, x ↦ −x. Benutze Aufgabe 10.2 um zu beweisen, dass

π^{∗} : Ω^{∗}(ℝP^{n}) → Ω^{∗}(S^{n})

injektiv ist. Das minimal Polynom von a^{∗} ist x^{2} −1, also ist a^{∗} diagonalisierbar mit Eigenwerten ±1. Seien Ω_{+}^{∗}(S^{n}) und H_{+}^{∗}(S^{n}) die Eigenräume zum Eigenwert 1. Dann gilt π^{∗}(Ω^{∗}(ℝP^{n})) = Ω_{+}^{∗}(S^{n}), und

π^{∗} : H^{∗}(ℝP^{n}) → H_{+}^{∗}(S^{n})

ist ein Isomorphismus. Berechne dann H_{+}^{∗}(S^{n}) mit Hilfe von Korollar 5.29.

Aufgabe 13.4. Beweise, dass die ℝ-Algebren H^{∗}(ℂP^{2}) und ℝ[x]/(x^{3}) mit |x| = 2 isomorph sind.

∗Abgabe : Montag 19.07.2010 beim Tutor.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html