Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 2^{∗}, 16.04.2010

Aufgabe 2.1. Sei r ∈ ℕ∪{∞} und seien M und N zwei C^{r}-Mannigfaltigkeiten der Dimension m und n. Sei M × N mit der Produkt-Topologie versehen. Beweise, dass M × N eine C^{r}- Mannigfaltigkeit der Dimension m + n ist.

Aufgabe 2.2. Sei n ≥ 1, und sei S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} | ∥x∥_{2} = 1} ⊂ ℝ^{n+1} die n-Sphäre. Für i = 1, …, n + 1, seien

U_{+i} = {x ∈ S^{n} | x_{i} > 0}, U_{−i} = {x ∈ S^{n} | x_{i} < 0}

und ψ_{±i} : U_{±i} → D̊^{n} = {x ∈ ℝ^{n} | ∥x∥_{2} < 1} durch

ψ_{±i}(x) = (x_{1}, …, x̂_{i}, …, x_{n+1})

gegeben, wobei x̂_{i} bedeutet, dass man x_{i} ausgelassen hat. Beweise die folgenden Aussagen. (a) Die Familie {(U_{±i}, ψ_{±i}) | 1 ≤ i ≤ n + 1} bildet einen C^{∞}-Atlas von S^{n}.

(b) Dieser Atlas ist mit dem Atlas aus der Vorlesung (der aus zwei stereographischen Projektionen besteht) C^{∞}-verträglich.

Aufgabe 2.3. Entscheide, ob die folgenden Räume topologische Mannigfaltigkeiten sind, und begründe deine Antwort.

(a) ℝ×ℚ mit der Produkt-Topologie, wobei ℝ mit der Euklidischen Topologie versehen ist, und ℚ diskret ist.

(b) ℝ × ℚ als Teilraum des Euklidischen ℝ^{2}.

(c) (ℝ × {0}) ∪ ({0} × ℝ) als Teilraum des Euklidischen ℝ^{2}.

Aufgabe 2.4. Sei X ein Raum, ∼ eine Äquivalenzrelation auf X und X/ ∼ der Quotientenraum. Sei π : X → X/∼ die kanonische Projektion. Ferner sei X×X mit der Produkt-Topologie versehen, und sei die Äquivalenzrelation ∼ als Teilmenge

R = {(x, y) ∈ X × X | x ∼ y}

von X × X gefasst. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ist X zweit-abzählbar und π offen, so ist X/∼ auch zweit-abzählbar.

(b) Ist π offen und R abgeschlossen in X × X, so ist X/∼ Hausdorff.

Aufgabe 2.5. Beweise, dass ℂP^{n} eine C^{∞}-Mannigfaltigkeit der Dimension 2n ist.

∗Abgabe : Montag 26.04.2010 vor der Vorlesung.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html