Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 3^{∗}, 23.04.2010

Aufgabe 3.1. Seien M und N zwei C^{∞} Mannigfaltigkeiten, und sei ϕ : M → N eine stetige Abbildung. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) ϕ ist C^{∞},

(b) Für jede C^{∞} Funktion f : U → ℝ, wobei U ⊂ N offen ist, ist f ∘ ϕ|_{ϕ^{−1}(U)} auch C^{∞}.

Aufgabe 3.2. Sei n ≥ 0. Erweitere die Koordinaten-Systeme von S^{n} aus Aufgabe 2.2 zu Koordinaten-Systemen von ℝ^{n+1}, um zu beweisen, dass S^{n} eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n+1} ist.

Aufgabe 3.3. Seien M und N zwei C^{∞} Mannigfaltigkeiten, und sei f : M → N eine C^{∞} Abbildung. Beweise, dass der Graph von f

Γ(f) = {(m, n) ∈ M × N | n = f(m)}

eine Untermannigfaltigkeit des Produktes M × N ist.

Aufgabe 3.4. Beweise, dass S^{1} und ℝP^{1} diffeomorph sind.

Aufgabe 3.5. Sei X ein Raum, ∼ eine Äquivalenzrelation auf X und X/ ∼ der Quotientenraum. Sei π : X → X/∼ die kanonische Projektion. Ferner sei Y ⊂ X ein saturierter Teilraum (also π^{−1}(π(Y)) = Y), und sei μ : Y → π(Y) die Einschräkung von π. Hier ist π(Y) ⊂ X/ ∼ mit der Teilraumtopologie versehen. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ist Y offen oder abgeschlossen in X, so ist μ eine Quotienten-Abbildung.

(b) Ist π offen oder abgeschlossen, so ist μ eine Quotienten-Abbildung.

∗Abgabe : Montag 3.05.2010 vor der Vorlesung.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html