Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 4^{∗}, 30.04.2010

Aufgabe 4.1. Seien a, b ∈ ℝ mit 0 < b < a. Beweise, dass

N = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (a − (x^{2} + y^{2})^{1/2})^{2} + z^{2} = b^{2}} ⊂ ℝ^{3}

eine C^{∞} Untermannigfaltigkeit der Dimension 2 ist.

Aufgabe 4.2. Seien L ⊂ M und M ⊂ N zwei C^{∞} Untermannigfaltigkeiten. Beweise, dass L ⊂ N auch eine Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe 4.3. Seien N ⊂ M und L ⊂ K zwei C^{∞} Untermannigfaltigkeiten, und sei f : M → K eine C^{∞} Abbildung. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Einschränkung f|_{N} ist eine C^{∞} Abbildung von Mannigfaltigkeiten.

(b) Gilt f(M) ⊂ L, so ist die Einschränkung (des Zieles) f : M → L eine C^{∞} Abbildung.

Aufgabe 4.4. Sei k ≥ 1 und sei p_{k} : ℝ^{10} → ℝ^{2} die Abbildung, die für z = (z_{1}, …, z_{5}) ∈ ℂ^{5} ≅ ℝ^{10} durch

p_{k}(z) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} + z_{4}^{3} + z_{5}^{6k−1} ∈ ℂ ≅ ℝ^{2}

definiert ist. Beweise, dass

Σ_{k}^{7} = {x ∈ ℝ^{10} | p_{k}(x) = 0 und ∥x∥_{2}^{2} = 1} ⊂ ℝ^{10}

eine 7-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.

Bemerkung: Die Mannigfaltigkeit Σ_{k}^{7} heißt eine 7-dimensionale Brieskorn Sphäre. In der Liste Σ_{1}^{7}, …, Σ_{28}^{7} sind je zwei Elemente nicht diffeomorph, und diese Liste enthält, bis auf Diffeomorphismus, alle C^{∞} Strukturen auf der (orientierten) topologischen Mannigfaltigkeit S^{7}.

Aufgabe 4.5. Beweise die folgende Aussage mit Hilfe des Weierstraß-Approximationssatzes. Sei M eine C^{∞} Mannigfaltigkeit, A ⊂ M ein kompakter Teilraum, f : M → ℝ eine stetige Funktion mit f|_{A} C^{∞}. Zu jeder positiven stetigen Funktion ϵ : M → ℝ existiert eine C^{∞} Funktion h : M → ℝ, mit

(a) h(a) = f(a) für alle a ∈ A,

(b) |h(x) − f(x)| < ϵ(x) für alle x ∈ M.

∗Abgabe : Montag 10.05.2010 vor der Vorlesung.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html