Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 5^{∗}, 7.05.2010

Aufgabe 5.1. Betrachte S^{1} = {z ∈ ℂ | |z| = 1}, und sei μ : S^{1} ×S^{1} → S^{1} durch (z_{1}, z_{2}) ↦ z_{1}z_{2} (Multiplikation in ℂ) gegeben.

(a) Beweise, dass S^{1} eine Lie-Gruppe ist.

(b) Beweise, dass S^{1} × S^{1} mit komponentenweisem Produkt eine Lie-Gruppe ist.

(c) Finde eine Einbettung von S^{1} × S^{1} in ℝ^{3}. (Hinweis: Aufgabe 4.1.)

Aufgabe 5.2. Sei f : ℝ^{2} → S^{1} × S^{1} durch f(x, y) = (e^{2πxi}, e^{2πyi}) definiert. Sei a ∈ ℝ, und sei g_{a} : ℝ → ℝ^{2} durch g_{a}(t) = (t, at) definiert. Sei h_{a} = fg_{a} : ℝ → S^{1} × S^{1}. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) f, g_{a} und h_{a} sind Homomorphismen von Lie-Gruppen (also Gruppen-Homomorphismen und C^{∞} Abbildungen).

(b) h_{a} ist eine Immersion.

(c) h_{a} ist genau dann injektiv, wenn a irrational ist.

(d) Sei S^{1} × S^{1} in ℝ^{3} eingebettet. Male ein Bild von h_{\frac{2}{3}} (ℝ) ⊂ ℝ^{3}.

Bemerkung: Ist a irrational, so ist h_{a}(ℝ) ⊂ S^{1}×S^{1} ein (nicht abgeschlossener) dichter Teilraum.

Aufgabe 5.3. Sei f : M → N eine Immersion. Beweise, dass zu jedem Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U von x existiert, so dass die Einschränkung f|_{U} : U → N eine Einbettung ist.

Aufgabe 5.4. Beweise, dass S^{2} und ℂP^{1} diffeomorph sind.

Aufgabe 5.5. Seien M und N kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeiten derselben Dimension. Beweise, dass eine Einbettung f : M → N ein Diffeomorphismus ist.

∗Abgabe : Montag 17.05.2010 vor der Vorlesung. Die Aufgabe 5.5 wird nicht bewertet.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html