Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 6^{∗}, 14.05.2010

Aufgabe 6.1. Sei U ⊂ ℝ^{n} eine offene Teilmenge, sei f : U → ℝ^{k} eine C^{∞} Abbildung mit konstantem Rang, und sei x ∈ f(U). Sei N ⊂ ℝ^{n} die Untermannigfaltigkeit, die als N = f^{−1}({x}) definiert ist. Beweise, dass T_{p}N = Kern(Df(p)) für alle p ∈ N.

Aufgabe 6.2. Für jede Mannigfaltigkeit M aus der folgenden Liste, und für p ∈ M gegeben, bestimme T_{p}M.

(a) S^{n}, p ∈ S^{n}.

(b) Das Hyperboloid H = {x ∈ ℝ^{4} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} − x_{4}^{2} = 1}, p ∈ H.

(c) SO(n), p = I_{n}.

Aufgabe 6.3. Sei v : ℝ^{3} → ℝ^{6} die C^{∞} Abbildung, die durch

v(x, y, z) = (x^{2}, y^{2}, z^{2}, \sqrt{2}xy, \sqrt{2}xz, \sqrt{2}yz)

definiert ist. Beweise, dass v eine Einbettung v̄ : ℝP^{2} → ℝ^{6} induziert. Bemerkung: Die Abbildung v̄ heißt die Veronese Einbettung. Die Formel wird der Abbildung ℝ^{3} \ {0} → M_{3}(ℝ) entnommen, die x auf der orthogonalen Projektion von ℝ^{3} auf x^{⊥} ⊂ ℝ^{3} abbildet.

Aufgabe 6.4. Sei S^{3} = {(x, y) ∈ ℂ^{2} | |x|^{2} + |y|^{2} = 1}, und sei η : S^{3} → ℂP^{1} ≅ S^{2} die Abbildung, die durch η(x, y) = π(x, y) gegeben ist, wobei π : ℂ^{2} \ {0} → ℂP^{1} die kanonische Projektion ist. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Abbildung η ist eine surjektive C^{∞} Submersion.

(b) Für jedes q ∈ S^{2} ist η^{−1}(q) eine Untermannigfaltigkeit von S^{3}, die mit S^{1} diffeomorph

ist. Die Abbildung η : S^{3} → S^{2} heißt die Hopf Abbildung.

Aufgabe 6.5. Sei M eine C^{∞} Mannigfaltigkeit der Dimension n. Sei D_{p}(M) = {(U, ϕ) | p ∈ U} die Menge der Karten von M um p. Definiere

\begin{matrix}T′_{p}M = \{v : D_{p}(M) → ℝ^{n} | & v(V, ψ) = d(ψ ∘ ϕ^{−1})(ϕ(p))(v(U, ϕ)) \\ für alle (U, ϕ), (V, ψ) ∈ D_{p}M\} . \end{matrix}

Beweise, dass T′_{p}(M) die Struktur eines ℝ-Vektorraums besitzt, und dass ein kanonischer Isomorphismus T_{p}M ≅ T′_{p}M existiert.

∗Abgabe : Montag 31.05.2010 vor der Vorlesung. Die Aufgabe 6.5 wird nicht bewertet.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html