Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 7^{∗}, 28.05.2010

Aufgabe 7.1. Sei N ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit. Beweise, dass T N ⊂ T M eine Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe 7.2. Sei n ∈ ℕ ungerade.

(a) Finde ein C^{∞} Vektorfeld X auf S^{n} mit X_{p} ≠ 0 für alle p ∈ S^{n}.

(b) Finde C^{∞} Vektorfelder X, Y und Z auf S^{3} mit der Eigenschaft, dass {X_{p}, Y_{p}, Z_{p}} eine

Basis von T_{p}S^{3} für alle p ∈ S^{3} ist. Hinweis: Um Vektorfelde auf S^{n} explizit anzugeben kann es hilfsreich sein, T S^{n} als Untermannigfaltigkeit von T ℝ^{n+1} = ℝ^{n+1} × ℝ^{n+1} zu betrachten (siehe obige Aufgabe).

Aufgabe 7.3. Benutze das Vektorfeld X : S^{1} → T S^{1} aus der obigen Aufgabe um einen Diffeomorphismus h : S^{1} × ℝ → T S^{1} zu konstruieren, der die folgenden Eigenschaften hat:

(a) π ∘ h(x, v) = x für alle (x, v) ∈ S^{1} × ℝ,

(b) h(p, −) : ℝ → T_{p}S^{1} ist ein ℝ-linearer Isomorphismus. (In anderen Worten: h ist ein Diffeomorphismus und ein Isomorphismus von ℝ-Vektorbündeln.) Sei k ∈ ℤ, und sei f_{k} : S^{1} → S^{1} durch f_{k}(z) = z^{k} (Potenz von z als komplexe Zahl) definiert. Bestimme df_{k} : T S^{1} → T S^{1} (oder h^{−1} ∘ df_{k} ∘ h : S^{1} × ℝ → S^{1} × ℝ).

Aufgabe 7.4. Seien M und N zwei C^{∞} Mannigfaltigkeiten. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Für alle (p, q) ∈ M ×N sind T_{p}M ×T_{q}N und T_{(p,q)}(M ×N) als ℝ-Vektorräume kanonisch isomorph.

(b) Ein kanonischer Diffeomorphismus und Isomorphismus von ℝ-Vektorbündeln

T M × T N → T (M × N)

existiert.

Aufgabe 7.5. Sei n ∈ ℕ und sei X ein C^{∞} Vektorfeld auf S^{n}. Beweise, dass ein C^{∞} Vektorfeld X̃ auf ℝ^{n+1} existiert, mit X = X̃|_{S^{n}}.

∗Abgabe : Montag 7.06.2010 vor der Vorlesung. Die Aufgabe 7.5 wird nicht bewertet.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html