Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 8^{∗}, 04.06.2010

Aufgabe 8.1. Sei M eine C^{∞} Mannigfaltigkeit. Beweise, dass T M Hausdorff und zweit-abzähl-bar ist.

Aufgabe 8.2. Sei M eine Mannigfaltigkeit, seien X, Y ∈ 𝔛(M) zwei C^{∞} Vektorfelder auf M und f, g ∈ C^{∞}(M) zwei C^{∞} Funktionen M → ℝ. Beweise die folgenden Identitäten.

(a) [fX, gY] = fg[X, Y] + fX(g)Y − gY (f)X.

(b) [X, Y] = −[Y, X].

Aufgabe 8.3. Sei M eine Mannigfaltigkeit und seien X, Y, Z ∈ 𝔛(M). Beweise die Jacobi-Identität

[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X]] + [[Z, X], Y ] = 0 .

Aufgabe 8.4. Sei M eine C^{∞} Mannigfaltigkeit. Eine Derivation von C^{∞}(M) ist eine ℝ-lineare Abbildung δ : C^{∞}(M) → C^{∞}(M) mit δ(fg) = fδ(g) + gδ(f) für alle f, g ∈ C^{∞}(M). Sei Der(C^{∞}(M)) die Menge aller Derivationen von C^{∞}(M). Beweise, dass 𝔛(M) → Der(C^{∞}(M)), X ↦ {f ↦ X(f)} ein ℝ-linearer Isomorphismus ist.

∗Abgabe : Montag 14.06.2010 vor der Vorlesung.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html