Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Sommersemester 2010

ÜBUNGEN ZUR DIFFERENTIALFORMEN UND MANNIGFALTIGKEITEN

Blatt 9^{∗}, 11.06.2010

Aufgabe 9.1. Sei M eine Mannigfaltigkeit der Dimension n, und sei (U, ϕ) eine Karte von M. Sei B = \{\frac{∂}{∂ϕ_{i}} \}_{i=1}^{n} die entsprechende Basis von 𝔛(U) als C^{∞}(U)-Modul.

(a) Erkläre, warum [\frac{∂}{∂ϕ_{i}} , \frac{∂}{∂ϕ_{j}}] = 0 in 𝔛(U) für alle i, j.

(b) Seien X, Y ∈ 𝔛(U). Verwende die Formel aus Aufgabe 8.2(a), um die Koordinaten von [X, Y] bezüglich der Basis B auszudrücken, in Abhängigkeit von den Koordinaten von X und Y bezüglich B.

Aufgabe 9.2. Sei f : V → W eine ℝ-linearer Abbildung. Beweise, dass f^{∗} = A^{∗}(f) : A^{∗}(W) → A^{∗}(V) mit dem Produkt ∧ verträglich ist.

Aufgabe 9.3. Sei V ein ℝ-Vektorraum, sei ω ∈ A^{p}(V) und seien v_{1}, …, v_{p} ∈ V. Sei A = (a_{ij}) ∈ M_{p}(ℝ), und sei w_{i} = ∑_{j=1}^{p} a_{ij}v_{j}. Beweise, dass ω(w_{1}, …, w_{p}) = det(A)ω(v_{1}, …, v_{p}).

Aufgabe 9.4. Sei V ein ℝ-Vektorraum der Dimension n, und sei f : V → V ein linearer Endomorphismus von V. Sei P_{f}(t) = det(f − t) ∈ ℝ[t] das charakteristische Polynom von f. Beweise, dass die folgende Formel gilt:

P_{f}(t) = ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}Spur(A^{n−i}(f))t^{i} .

Zeige zuerst, dass diese Formel für diagonale, und dann für diagonalisierbare Matrizen gilt. Benutze dann, dass die diagonalisierbare Matrizen in M_{n}(ℂ) eine dichte Teilmenge bilden.

Aufgabe 9.5. Sei V ein ℝ-Vektorraum, und p, q ≥ 1. Definiere ¯∧ : A^{p}(V) × A^{q}(V) → A^{p+q}(V) durch

ω_{1} ¯∧ω_{2}(v_{1}, …, v_{p+q}) = \frac{1}{p!q!} ∑_{σ∈Σ_{p+q}} sign(σ)ω_{1}(v_{σ(1)}, …, v_{σ(p)})ω_{2}(v_{σ(p+1)}, …, v_{σ(p+q)})

für alle (v_{1}, …, v_{p+q}) ∈ V^{p+q}. Beweise, dass ω_{1} ¯∧ω_{2} = ω_{1} ∧ ω_{2}.

∗Abgabe : Montag 21.06.2010 vor der Vorlesung. Die Aufgabe 9.5 wird nicht bewertet.

http://www.math.uni-muenster.de/u/ausoni/manifolds-SS10.html