http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 10^{∗}, 14.12.2007

Aufgabe 10.1. Sei A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℝ), und sei f : M_{2}(ℝ) → M_{2}(ℝ) die Abbildung, die

durch f(X) = AX − XA definiert ist.

(a) Zeige, dass f ℝ-linear ist.

(b) Bestimme eine Basis von Kern(f) und Bild(f).

(c) Wähle eine Basis B von M_{2}(ℝ), und berechne die Matrix C_{B}(f) von f bezüglich der Basis B.

Definition. Seien K ein Körper und A eine K-Algebra mit Einheit 1. Eine Teilmenge B ⊂ A ist eine Unteralgebra von A, falls B ein Teilraum von A mit 1 ∈ B ist, der unter dem Produkt in A abgeschlossen ist (also vw ∈ B falls v, w ∈ B). Ein Algebra-Automorphismus von A ist ein Isomrphismus f : A → A von K-Vektorräumen, mit f(1) = 1 und f(vw) = f(v)f(w) für alle v, w ∈ A.

Aufgabe 10.2. Entscheide, ob die folgenden Teilmengen der K-Algebra M_{n}(K) Unteralgebren sind :

R = {(a_{ij}) ∈ M_{n}(K) | a_{ij} = 0 falls i + j ungerade ist} ,
S = {(a_{ij}) ∈ M_{n}(K) | a_{ij} = 0 falls i = j} ,
T = {(a_{ij}) ∈ M_{n}(K) | a_{ij} = 0 falls i > j} ,
D = {(a_{ij}) ∈ M_{n}(K) | a_{ij} = 0 falls i ≠ j} .

Aufgabe 10.3. Sei Spur : M_{n}(K) → K die Spurabbildung, die durch (a_{ij}) ↦ ∑_{k=1}^{n} a_{kk} definiert ist.

(a) Beweise, dass die Spurabbildung K-linear ist, und finde eine Basis von Kern(Spur).

(b) Zeige : für A, B ∈ M_{n}(K) gilt Spur(AB) = Spur(BA).

Aufgabe 10.4. Sei f ∈ Hom_{K}(K^{m,n}, K). Zeige : Es existiert eine eindeutig bestimmte Matrix F ∈ K^{n,m}, so dass f(X) = Spur(F X) für alle X ∈ K^{m,n}.

Aufgabe 10.5. Sei N = \{(\begin{matrix}x & y \\ 0 & x \end{matrix}) | x, y\} ⊂ M_{2}(ℝ).

(a) Beweise, dass N eine Unteralgebra der ℝ-Algebra M_{2}(ℝ) ist.

(b) Beschreibe alle Algebra-Automorphismen der ℝ-Algebren ℂ, ℝ × ℝ, und N (wobei das Produkt von ℝ × ℝ komponentenweise definiert ist, also (a, b)(x, y) = (ax, by)).

(c) Beweise, dass jede 2-dimensionale ℝ-Algebra zu genau einer der ℝ-Algebren ℂ, ℝ × ℝ, oder N isomorph ist.

Wir wünschen Euch schöne Feiertage und einen guten Rutsch ins 2008 !

∗Abgabe : Dienstag 08.01.2008, vor der Vorlesung.