http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 11^{∗}, 04.01.2008

Aufgabe 11.1. Sei K ein Körper, n ≥ 2, 1 ≤ k, l ≤ n und e^{kl} = (e_{ij}^{kl}) ∈ M_{n}(K), wobei der Koeffizient e_{ij}^{kl} ∈ K durch

e_{ij}^{kl} = \begin{cases}1 & falls i = k und j = l, \\ 0 & sonst \end{cases}

definiert ist. Also ist e^{kl} die Matrix, deren (k, l)-Koeffizient 1 ist und alle anderen 0 sind. Für λ ∈ K und k ≠ l, sei E^{kl}(λ) = 1 + λe^{kl} ∈ M_{n}(K).

(a) Zeige : E^{kl}(λ)E^{kl}(μ) = E^{kl}(λ + μ) für k ≠ l. Für welche λ ∈ K ist E^{kl}(λ) invertierbar ?

(b) Zeige, dass E^{ij}(λ) = E^{ik}(λ)E^{kj}(1)E^{ik}(−λ)E^{kj}(−1) falls i ≠ j ≠ k ≠ i.

(c) Sei A ∈ K^{m,n} und B ∈ K^{n,p}, für m, p ≥ 1. Beschreibe AE^{kl}(λ) und E^{kl}(λ)B.

Definition. Seien k ≠ l. Eine Matrix der Form E^{kl}(λ) ∈ M_{n}(K) heißt eine Elementarmatrix.

Aufgabe 11.2. Sei

A = (\begin{matrix}i & −1 & 1 \\ i − 1 & −1 & i + 1 \\ i + 1 & i − 1 & 1 − 2i \end{matrix}) ∈ M_{3}(ℂ) .

Zeige, dass A invertierbar ist und berechne A^{−1}.

Aufgabe 11.3. Seien

A = (\begin{matrix}0 & 2 & 1 & 1 \\ −1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{matrix}) und B = (\begin{matrix}2 & −1 & 3 & 4 \\ −1 & 1 & −2 & −3 \\ 5 & 1 & 4 & 3 \end{matrix}) ∈ ℚ^{3,4} .

Zeige, dass A und B äquivalent sind, und finde invertierbare Matrizen P und Q mit A = P BQ.

Aufgabe 11.4. Seien V und W K-Vektorräume und seien V_{1}, V_{2} ⊂ V und W_{1}, W_{2} ⊂ W Teilräume mit V = V_{1} ⊕ V_{2} und W = W_{1} ⊕ W_{2}. Ferner, sei f : V → W eine K-lineare Abbildung.

(a) Zeige : Es existieren eindeutige K-lineare Abbildungen f_{ji} : V_{i} → W_{j} mit 1 ≤ i, j ≤ 2, so dass für v_{1} ∈ V_{1} und v_{2} ∈ V_{2} gilt f(v_{1} + v_{2}) = (f_{11}(v_{1}) + f_{12}(v_{2})) + (f_{21}(v_{1}) + f_{22}(v_{2})) ∈

W_{1} ⊕ W_{2}. Man schreibt dann f = (\begin{matrix}f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{matrix}).

(b) Sei B = {b_{1}, …, b_{n}} eine Basis von V, wobei B_{1} = {b_{1}, …, b_{k}} und B_{2} = {b_{k+1}, …, b_{n}} Basen von V_{1}, bzw. V_{2} sind. Ebenso, sei C = {c_{1}, …, c_{m}} eine Basis von W, wobei C_{1} = {c_{1}, …, c_{l}} und C_{2} = {c_{l+1}, …, c_{m}} Basen von W_{1}, bzw. W_{2} sind. Zeige, dass

C_{C}^{B}(f) = (\begin{matrix}C_{C_{1}}^{B_{1}}(f_{11}) & C_{C_{1}}^{B_{2}}(f_{12}) \\ C_{C_{2}}^{B_{1}}(f_{21}) & C_{C_{2}}^{B_{2}}(f_{22}) \end{matrix}) .

Aufgabe 11.5. Seien m, n, p ≥ 1 und A ∈ K^{p,n} mit Rang(A) = r. Berechne den Rang der K-linearen Abbildung ψ_{A} : K^{m,p} → K^{m,n} mit ψ_{A}(X) = XA für X ∈ K^{m,p}.

∗Abgabe : Dienstag 15.01.2008, vor der Vorlesung.