http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 12^{∗}, 11.01.2008

Aufgabe 12.1. Sei ℤ[i] die Menge der ganzen Gauß’schen Zahlen, also

ℤ[i] = {a + bi ∈ ℂ | a, b ∈ ℤ} ⊂ ℂ.

(a) Beweise, dass ℤ[i] ein Teilring von ℂ ist.

(b) Sei ℤ[i]^{×} ⊂ ℤ[i] die Einheitsgruppe. Beweise, dass ℤ[i]^{×} = {1, −1, i, −i}.

(c) Seien (G, ∗) und (G, ⋆) die Gruppen mit vier Elementen aus der Übung 3.2. Zu welcher dieser Gruppen ist ℤ[i]^{×} isomorph ?

Aufgabe 12.2. Sei K ein Körper und μ : M_{n}(K) → K eine Funktion, die verträglich mit den Produkten ist, also μ(XY) = μ(X)μ(Y). Ferner nehmen wir an, dass μ weder konstant gleich 0 noch konstant gleich 1 ist. Zeige: μ(A) ist genau dann gleich Null, wenn A singulär (also nicht invertierbar) ist.

Aufgabe 12.3. Sei K ein Körper und n ≥ 2. Eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(K) ist eine Diagonalmatrix, falls a_{ij} = 0 für alle i ≠ j. Man schreibt dann A = diag(a_{11}, …, a_{nn}).

(a) Zeige, dass für i ≠ j die Elementarmatrix E^{ij}(1) ∈ M_{n}(K) nicht zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist.

(b) Seien λ_{1}, …, λ_{n}, μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K. Zeige, dass die zwei Diagonalmatrizen diag(λ_{1}, …, λ_{n}) und diag(μ_{1}, …, μ_{n}) genau dann ähnlich sind, wenn es eine Bijektion σ : {1, …, n} → {1, …, n} gibt, so dass λ_{i} = μ_{σ(i)} für alle 1 ≤ i ≤ n.

Aufgabe 12.4. Sei K ein Körper und n ≥ 2. Für A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(K) bezeichnen wir mit ^{t}A die zu A transponierte Matrix, also ^{t}A = (b_{ij}) mit b_{ij} = a_{ji}. Untersuche, welche der folgenden Teilmengen von GL_{n}(K) Untergruppen sind :

D = {(a_{ij}) ∈ GL_{n}(K) | a_{ij} = 0 für alle i ≠ j} ,
D′ = D ∪ {(a_{ij}) ∈ GL_{n}(K) | a_{ij} = 0 für alle i ≠ n − j + 1} ,
G = {(a_{ij}) ∈ GL_{n}(K) | a_{ii} = 1 für alle i} ,
O = {A ∈ GL_{n}(K) | A ·^{t}A = 1} .

Sei nun K = ℚ. Ist M_{n}(ℤ)∩GL_{n}(ℚ) = {(a_{ij}) ∈ GL_{n}(ℚ) | a_{ij} ∈ ℤ für alle i, j} eine Untergruppe von GL_{n}(ℚ) ?

Aufgabe 12.5. Sei K ein Körper, n ≥ 1, und für 1 ≤ i ≤ n sei s_{i} : M_{n}(K) → K durch

s_{i}(A) = ∑_{j=1}^{n} a_{ij} falls A = (a_{ij})

definiert. Sei B_{n}(K) = {A ∈ M_{n}(K) | s_{1}(A) = ⋯ = s_{n}(A)} ⊂ M_{n}(K).

(a) Zeige, dass B_{n}(K) eine Unteralgebra von M_{n}(K) ist.

(b) Beweise, dass s_{1} : B_{n}(K) → K ein Homomorphismus von K-Algebren ist.

(c) Berechne die Dimension von B_{n}(K) als K-Vektorraum.

∗Abgabe : Dienstag 22.01.2008, vor der Vorlesung.