http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 13^{∗}, 18.01.2008

Aufgabe 13.1. Entscheide, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind, und berechne gegebenenfalls deren Inverse :

A = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}) ∈ M_{4}(ℚ), B = (\begin{matrix}1 & 0 & ξ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 & ξ \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ M_{4}(ℂ), C = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}) ∈ M_{3}(𝔽_{11}),

wobei ξ = e^{\frac{2πi}{3}} = \frac{1}{2}(−1 + i\sqrt{3}) ∈ ℂ.

Aufgabe 13.2. Sei K ein Körper, m, n ≥ 1 und A ∈ K^{m,n}, mit Rang(A) = r. Beweise : es existieren B ∈ K^{m,r} und C ∈ K^{r,n} mit Rang(B) = Rang(C) = r und A = B · C.

Aufgabe 13.3. Sei n ≥ 2, und für A ∈ M_{n}(K) sei ^{t}A die zu A transponierte Matrix. Sei E_{n}(K) die Untergruppe von GL_{n}(K), die von elementaren Matrizen erzeugt wird. Für d ∈ K, sei D_{n}(d) = diag(1, …, 1, d) ∈ M_{n}(K).

(a) Zeige : für A, B ∈ M_{n}(K) gilt ^{t}(A · B) = ^{t}B ·^{t}A.

(b) Nehmen wir an, dass man jede Matrix A ∈ GL_{n}(K) als Produkt A = S · D_{n}(d) mit S ∈ E_{n}(K) und d ∈ K^{×} zerlegen kann. Zeige : jede Matrix A ∈ GL_{n}(K) kann man als Produkt A = D_{n}(d) · T mit T ∈ E_{n}(K) und d ∈ K^{×} zerlegen.

Aufgabe 13.4. Sei n ≥ 2 und B ∈ M_{n}(K). Sei

C(B) = {A ∈ M_{n}(K) | AB = BA} ⊂ M_{n}(K).

(a) Zeige, dass C(B) eine Unteralgebra von M_{n}(K) ist.

(b) Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ K gegeben. Berechne die Dimension von C(B) als K-Vektorraum im Fall B = diag(a_{1}, …, a_{n}).

Aufgabe 13.5. Sei n ≥ 1, und seien

T_{n}^{+}(K) = {(a_{ij}) ∈ M_{n}(K) | a_{ij} = 0 falls i > j} ,
T_{n}^{−}(K) = {(a_{ij}) ∈ M_{n}(K) | a_{ij} = 0 falls i < j} .

(a) Zeige, dass T_{n}^{+}(K) und T_{n}^{−}(K) Unteralgebren von M_{n}(K) sind.

(b) Beweise, dass T_{n}^{+}(K) und T_{n}^{−}(K) als K-Algebren isomorph sind.

Definition. Die Algebra T_{n}^{+}(K) (bzw. T_{n}^{−}(K)) heißt die Algebra der n × n oberen Dreiecksmatrizen (bzw. der n × n unteren Dreiecksmatrizen) mit Koeffizienten in K.

∗Abgabe : Dienstag 29.01.2008, vor der Vorlesung.