http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 14^{∗}, 24.01.2008

Aufgabe 14.1. Berechne die Determinante der folgenden Matrizen :

A = (\begin{matrix}2 & 1 & 5 & 6 & 3 \\ 3 & 2 & 4 & 6 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 5 & 6 & 4 \end{matrix}) ∈ M_{5}(𝔽_{7}), B = (\begin{matrix}−8 & −7 & −6 & −5 \\ −4 & −3 & −2 & −1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{matrix}) ∈ M_{4}(ℚ).

Aufgabe 14.2. Sei n ≥ 1 und A_{n} = (a_{ij}) ∈ M_{n}(ℝ) mit a_{ij} = |i − j| + 1. Berechne det(A_{n}).

Aufgabe 14.3. Sei K ein Körper, n ≥ 1 und Sei N = (n_{ij}) ∈ M_{n}(K) mit

n_{ij} = \begin{cases}1 & falls i + 1 = j, \\ 0 & sonst. \end{cases}

Sei 1_{n} ∈ M_{n}(K) die Einheitsmatrix. Berechne det(B_{n}), wobei B_{n} = 1_{n} + N +^{t}N.

Aufgabe 14.4. Sei ϕ : GL_{n}(K) → K^{×} ein Homomorphismus von Gruppen. Zeige : Es existiert ein Homomorphismus von Gruppen η : K^{×} → K^{×}, so dass ϕ(A) = η(det(A)) für alle A ∈ GL_{n}(K).

Aufgabe 14.5. Sei ψ : GL_{n}(ℂ) → ℂ^{×} ein Homomorphismus von Gruppen, so dass ψ(γ1_{n}) = γ^{n} für alle γ ∈ ℂ^{×} gilt, wobei 1_{n} ∈ GL_{n}(ℂ) die Einheitsmatrix ist.

(a) Beweise : ψ(A) = det(A) für alle A ∈ GL_{n}(ℂ).

(b) Gilt dies noch, wenn man ℂ mit ℝ ersetzt ?

Hinweise zur Klausur am 8. Februar 2008

Über die Zulassung zur Klausur informiert das Servicebüro durch Aushang (vor dem Servicebüro und im Glaskasten vor dem Großen Hörsaal).

Die Klausur findet am 8. Februar 2008 von 10 Uhr (s.t.) bis 12 Uhr im Wolfgang-Paul-Hörsaal statt. Bitte finden Sie sich 10 Minuten vor Beginn der Klausur vor Ort ein.

Mitzubringen sind Stifte (blau oder schwarz, kein Bleistift) und der Personalausweis oder Reisepass. Jacken und Taschen dürfen nicht mit in den Hörsaal genommen werden; wir werden für eine Aufsicht im Foyer sorgen. Nicht zugelassen sind Hilfsmittel wie Lehrbücher, Vorlesungsmitschriften, Notizen und Taschenrechner sowie Mobiltelefone. Das Mitführen eines nicht zugelassenen Gegenstands gilt als Betrugsversuch, unabhängig davon, ob dieser benutzt wurde oder nicht.

Die Klausurergebnisse werden vom Servicebüro durch Aushang (vor dem Servicebüro und im Glaskasten vor dem Großen Hörsaal) bekannt gegeben.

Diese Regeln gelten sinngemäß auch für die Nachklausur, die am Freitag, den 28. März 2008, von 10:00 - 12:00 stattfinden wird.

∗Abgabe : Freitag (!) 01.02.2008, vor der Vorlesung.