http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 2^{∗}, 19.10.2007

Aufgabe 2.1. Betrachte das Gleichungssystem

\{ \begin{matrix}x_{1} + ax_{2} + a^{2}x_{3} + a^{3}x_{4} & = \sqrt{3} \\ x_{1} + bx_{2} + b^{2}x_{3} + b^{3}x_{4} & = \sqrt{33} \\ x_{1} + cx_{2} + c^{2}x_{3} + c^{3}x_{4} & = \sqrt{333} \\ x_{1} + dx_{2} + d^{2}x_{3} + d^{3}x_{4} & = \sqrt{3333} . \end{matrix}

(a) Welche Bedingungen müssen die reellen Zahlen a, b, c und d erfüllen, damit dieses System genau eine reelle Lösung (x_{1}, …, x_{4}) hat ?

(b) Kann man a, b, c, d ∈ ℝ wählen, so dass dieses System mehr als eine Lösung hat ?

Hinweis : Es sind a^{2} − b^{2} und a^{3} − b^{3} durch a − b teilbar.

Definition. Eine binäre Operation auf eine Menge S ist eine Abbildung

\begin{matrix}S × S & →^{∗} S \\ (a, b) & ↦ a ∗ b . \end{matrix}

Solch eine Operation ∗ auf S heißt assoziativ, falls die Gleichung

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c

für alle a, b, c ∈ S gilt. Die Operation ist kommutativ, falls die Gleichung

a ∗ b = b ∗ a

für alle a, b ∈ S gilt. Ein Element e ∈ S heißt neutral, falls

a ∗ e = a = e ∗ a

für alle a ∈ S gilt. Ein Element b ∈ S ist ein Inverse von a ∈ S, falls

a ∗ b = e = b ∗ a

mit e neutral gilt.

Aufgabe 2.2. Sei S eine Menge mit einer binären Operation ∗. Zeige :

(a) Falls e, e′ ∈ S neutral sind, dann gilt e = e′.

(b) Falls ∗ assoziativ ist, dann gelten

\begin{aligned}((a ∗ b) ∗ c) ∗ d & = a ∗ (b ∗ (c ∗ d)) \\ (((a ∗ b) ∗ c) ∗ d) ∗ f & = a ∗ ((b ∗ c) ∗ (d ∗ f)) \end{aligned}

für beliebige a, b, c, d, f ∈ S.

(c) Falls ∗ assoziativ ist, und b, c ∈ S beide Inverse von a ∈ S sind, dann gilt b = c.

Fortsetzung auf der Rückseite Aufgabe 2.3. Sei S = {a, b} eine Menge mit zwei Elementen.

∗Abgabe : Dienstag 30.10.2007, vor der Vorlesung.

(a) Finde eine kommutative, nicht assoziative binäre Operation auf S.

(b) Finde eine assoziative, nicht kommutative binäre Operation auf S.

Aufgabe 2.4. Sei S eine Menge mit einer binärer Operation ∗.

(a) Gegeben sei a, b, c, d ∈ S. Wieviele Arten gibt es, zwei Paare von Klammern in ein mehrfaches Produkt a ∗ b ∗ c ∗ d einzusetzen, damit es in S wohldefiniert ist ?

(b) Nehmen wir an, S hat ein neutrales Element e. Beweise, dass die Operation ∗ genau dann assoziativ und kommutativ ist, wenn die Gleichung

(a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = (a ∗ c) ∗ (b ∗ d)

für beliebige a, b, c, d ∈ S gilt.

Aufgabe 2.5. Sei S = {a, b, c} eine Menge mit drei Elementen. (a) Wieviele verschiedene binäre Operationen gibt es auf S?

(b) Wieviele davon sind kommutativ ?

(c) Beschreibe alle verschiedenen binären Operationen auf S, die kommutativ und assoziativ sind, mit e = c als neutralem Element. Hinweis: Solch eine Operation ∗ auf S kann man durch ihre Multiplikationstafel darstellen :

\begin{matrix}∗ & e & a & b \\ e & ? & ? & ? \\ a & ? & ? & ? \\ b & ? & ? & ? \end{matrix}