http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 3^{∗}, 26.10.2007

Definition. Eine Gruppe (G, ∗) besteht aus einer Menge G und einer assoziativen binären Operation ∗ : G×G → G mit neutralem Element, so dass jedes Element aus G ein Inverses hat. Eine Abbildung f : G → H zwischen zwei Gruppen (G, ∗) und (H, ⋆) ist ein Homomorphismus (von Gruppen), falls

f(x ∗ y) = f(x) ⋆ f(y)

für alle x, y ∈ G gilt. Ein Homomorphismus von Gruppen f : G → H ist ein Isomorphismus (von Gruppen), falls es eine Abbildung g : H → G gibt, so dass

g(f(x)) = x und f(g(y)) = y

für alle x ∈ G und alle y ∈ H gilt. Zwei Gruppen (G, ∗) und (H, ⋆) sind isomorph (zu einander), falls es einen Isomorphismus f : G → H gibt.

Aufgabe 3.1. Gegeben seien zwei Gruppen (G, ∗) und (H, ⋆) und ein Homomorphismus von Gruppen f : G → H.

(a) Es seien e ∈ G und e′ ∈ H die neutralen Elemente. Beweise, dass f(e) = e′.

(b) Falls y ∈ G das Inverse von x in G ist, zeige, dass f(y) das Inverse von f(x) in H ist.

(c) Falls f ein Isomorphismus ist, zeige, dass es eine einzige Abbildung g : H → G mit g(f(x)) = x und f(g(y)) = y für alle x ∈ G und alle y ∈ H gibt (man notiert sie g = f^{−1} und nennt sie die Umkehrabbildung von f).

(d) Falls f ein Isomorphismus ist, zeige, dass dann auch f^{−1} ein Isomorphismus von Gruppen ist.

Aufgabe 3.2. Es seien zwei binäre Operation ∗ und ⋆ auf G = {e, a, b, c} durch ihre Multiplikationstafeln gegeben :

\begin{matrix}∗ & e & a & b & c \\ e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \end{matrix}  \begin{matrix}⋆ & e & a & b & c \\ e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \end{matrix}

(a) Beweise, dass (G, ∗) und (G, ⋆) kommutative Gruppen sind.

(b) Beweise, dass (G, ∗) und (G, ⋆) nicht isomorph sind.

(c) Beweise, dass jede Gruppe mit 4 Elementen entweder zu (G, ∗) oder zu (G, ⋆) isomorph ist.

Fortsetzung auf der Rückseite Aufgabe 3.3. Finde einen Körper k = {0, 1, a, b} mit 4 Elementen, und beschreibe ihn durch die Tafeln der Addition und der Multiplikation.

∗Abgabe : Dienstag 06.11.2007, vor der Vorlesung.

Aufgabe 3.4. Es sei (𝔽_{2} = {0, 1}, +, ·) der Primkörper mit zwei Elementen. Auf der Menge ℓ = 𝔽_{2} × 𝔽_{2} × 𝔽_{2} definiert man eine Addition durch

(a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z)

und eine Multiplikation durch

(a, b, c)(x, y, z) = (ax + bz + cy, ay + bx + bz + cy + cz, az + cx + by + cz),

für alle (a, b, c) und (x, y, z) in ℓ. Beweise, dass (ℓ, +, ·) ein Körper mit 8 Elementen ist. Hinweis : Es sei u = (1, 1, 1) ∈ ℓ. Zeige und benutze, dass ℓ ∖ {0} = {u, u^{2}, u^{3}, u^{4}, u^{5}, u^{6}, u^{7}}.

Aufgabe 3.5. In dieser Aufgabe betrachten wir Gleichungssysteme mit Koeffizienten in endlichen Körpern.

(a) Es sei 𝔽_{7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} der Primkörper mit 7 Elementen. Finde alle Lösungen

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ (𝔽_{7})^{4}

des Gleichungssystems

\{ \begin{matrix}2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 4x_{4} & = 1 \\ x_{1} + 2x_{2} + x_{4} & = 2 \\ 3x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} + 4x_{4} & = 3 \\ 2x_{1} + 4x_{2} + 4x_{4} & = 4 . \end{matrix}

(b) Es sei k = {0, 1, a, b} der Körper aus der Aufgabe 3.3. Beschreibe die Lösungen

(x, y) ∈ k^{2}

des Gleichungssystems

\{ \begin{matrix}x + ay & = b \\ ax + by & = 1 . \end{matrix}