http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 4^{∗}, 02.11.2007

Aufgabe 4.1. Sei G eine Gruppe, in der jedes Element invers zu sich selbst ist. Zeige, dass G kommutativ ist.

Aufgabe 4.2. Sei α = \sqrt[3]{2} ∈ ℝ, und sei ℚ(α) = \{a + bα + cα^{2} | a, b, c ∈ ℚ\} ⊂ ℝ. Zeige, dass ℚ(α) ein Teilkörper von ℝ ist.

Aufgabe 4.3. Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum. Wir bezeichnen mit ⟨S⟩ die lineare Hülle einer Teilmenge S von V, also

⟨S⟩ = { ∑_{i=1}^{n} k_{i}s_{i} | n ∈ ℕ, k_{i} ∈ K, s_{i} ∈ S} ⊂ V .

Zeige, dass die Gleichung von Teilräumen

⟨S ∪ T ⟩ = ⟨S⟩ + ⟨T ⟩

für beliebige Teilmengen S, T ⊂ V gilt.

Aufgabe 4.4. Sei X eine Menge, und sei ℝ^{X} die Menge aller Abbildungen von X nach ℝ. (a) Beweise, dass ℝ^{X} ein ℝ-Vektorraum ist, wobei die Addition und die ℝ-Wirkung durch

(af + bg)(x) = a(f(x)) + b(g(x))

in ℝ für alle f, g ∈ ℝ^{X}, alle a, b ∈ ℝ und alle x ∈ X definiert sind.

(b) Bestimme, welche der folgenden Teilmengen von ℝ^{ℝ} auch Teilräume sind :

\begin{aligned}A & = \{f ∈ ℝ^{ℝ} | f stetig\} \\ B & = \{f ∈ ℝ^{ℝ} | f(0) = 0\} \\ C & = \{f ∈ ℝ^{ℝ} | f(1) = 1\} \end{aligned} D = {f ∈ ℝ^{ℝ} | f beschränkt}

E = {f ∈ ℝ^{ℝ} | f monoton wachsend}
F = {f ∈ ℝ^{ℝ} | f(x + 1) = f(x) für alle x ∈ ℝ}.

Aufgabe 4.5. Seien A, B und C Teilräume eines Vektorraumes V.

(a) Zeige, dass, falls C ⊂ A, die folgende Gleichung von Teilräumen gilt :

A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + C .

(b) Prüfe, ob die Verteilungsgesetze (i) A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C), (ii) A + (B ∩ C) = (A + B) ∩ (A + C) allgemein gelten.

∗Abgabe : Dienstag 13.11.2007, vor der Vorlesung.