http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 5^{∗}, 09.11.2007

Aufgabe 5.1. Zeige, dass die Kommutativität der Addition aus den übrigen Axiomen für einen Vektorraum folgt.

Aufgabe 5.2. Gegeben seien die folgenden Mengen von Spaltenvektoren :

\begin{aligned}M_{1} & = \{(\begin{matrix}4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})\} ,  M_{2} = \{(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})\} , \\ M_{3} & = \{(\begin{matrix}3 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 6 \\ 5 \end{matrix})\} ,  M_{4} = \{(\begin{matrix}4 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}5 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})\} . \end{aligned}

(a) Man fasse M_{1}, M_{2}, M_{3} und M_{4} als Untermengen von ℚ^{3} auf. Welche der Mengen M_{i} sind linear abhängig ?

(b) Man fasse M_{1}, M_{2}, M_{3} und M_{4} als Untermengen von (𝔽_{7})^{3} auf, wobei 𝔽_{7} der Primkörper mit sieben Elementen ist. Welche der Mengen M_{i} sind linear abhängig ?

Aufgabe 5.3. Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Beweise die folgenden Aussagen : (a) Seien u, v ∈ V ∖ {0}. Dann ist die Untermenge

{u, u − v, u + v} ⊂ V

linear abhängig, wenn Char(K) ≠ 2 (also wenn 1 + 1 ≠ 0 in K).

(b) Es sei {u_{1}, …, u_{n}} ein linear unabhängiges System von Vektoren in V. Für

u = ∑_{i=1}^{n} a_{i}u_{i} ∈ V

ist das System {u_{1}−u, u_{2}−u, …, u_{n}−u} genau dann linear abhängig, wenn ∑_{i=1}^{n} a_{i} = 1.

Aufgabe 5.4. Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und M = {v_{1}, …, v_{n}} ⊂ V eine Teilmenge mit 0 ∉ M. Zeige, dass M genau dann linear unabhängig ist, wenn

⟨v_{1}, …, v_{i}⟩ ∩ ⟨v_{i+1}, …, v_{n}⟩ = {0}

für alle i ∈ {1, …, n − 1} gilt.

Aufgabe 5.5. Sei K ein Körper und M eine unendliche Menge.

(a) Zeige, dass der K-Vektorraum K^{M} nicht endlich erzeugt ist.

(b) Zeige, dass der K-Vektorraum K^{(M)} nicht endlich erzeugt ist.

(c) Kann der K-Vektorraum K^{ℕ} ein abzählbares Erzeugendensystem besitzen ?

∗Abgabe : Dienstag 20.11.2007, vor der Vorlesung.