http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 6^{∗}, 16.11.2007

Aufgabe 6.1. Seien a_{1} = (1, 3, 2), a_{2} = (−1, 0, 1), a_{3} = (1, 1, 0) und a_{4} = (1, 2, 3) in ℝ^{3}. (a) Zeige, dass {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}} ein Erzeugendensystem von ℝ^{3} ist.

(b) Finde alle Untermengen von {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}, die eine Basis bilden.

Aufgabe 6.2. Wir betrachten die folgenden Unterräume von ℝ^{4} :

\begin{aligned}L & = ⟨(0, 0, 1, 2), (4, 2, 1, 2), (−6, −3, 2, 4)⟩ , \\ M & = ⟨(3, 5, 5, 3), (2, 3, 3, 2), (−1, 1, 1, −1)⟩ . \end{aligned}

Finde eine Basis von L, von M, von L ∩ M und von L + M, und gib die Dimension von diesen Unterräumen an.

Aufgabe 6.3. Sei P_{3} = {a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} | a_{0}, …, a_{3} ∈ ℝ} die Menge der Polynomen von Grad ≤ 3 mit reellen Koeffizienten.

(a) Zeige, dass P_{3} ein ℝ-Vektorraum ist.

(b) Zeige, dass B_{1} = {1, x, x^{2}, x^{3}} und B_{2} = {1, 1 + x, (1 + x)^{2}, (1 + x)^{3}} Basen von P_{3} sind.

(c) Berechne die Koordinaten von den Vektoren u = 1 + x^{3}, v = 1 + x^{2} + x^{3} und w = 12 bezüglich der Basis B_{1}.

(d) Berechne die Koordinaten von den Vektoren u, v und w in P_{3} bezüglich der Basis B_{2}.

Aufgabe 6.4. Es seien U_{1}, U_{2}, …, U_{n} endlich-dimensionale Teilräume eines Vektorraumes V. Beweise

dim(U_{1} + ⋯ + U_{n}) = ∑_{i=1}^{n} dim(U_{i}) − ∑_{i=2}^{n} dim((U_{1} + ⋯ + U_{i−1}) ∩ U_{i})) .

Aufgabe 6.5. Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen. Zeige : K^{n} enthält eine unendliche Teilmenge M mit der Eigenschaft, dass je n Vektoren aus M eine Basis von K^{n} bilden.

∗Abgabe : Dienstag 27.11.2007, vor der Vorlesung.