http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 7^{∗}, 23.11.2007

Aufgabe 7.1. Sei U ⊂ ℝ^{4} der Lösungsraum des Gleichungssystems

\{ \begin{matrix}x + y + z + u & = 0 \\ x + 2y + 3z + 4u & = 0 . \end{matrix}

(a) Finde eine Basis von U.

(b) Finde eine Basis eines Komplementärraumes zu U in ℝ^{4}.

Aufgabe 7.2. Sei V ein Vektorraum, und seien U und U′ Teilräume von V mit V = U ∪ U′. Beweise : es gilt U = V oder U′ = V.

Aufgabe 7.3. Sei p ein Primzahl, sei 𝔽_{p} der Primkörper mit p Elementen, und sei n ∈ ℕ. (a) Wie viele (geordnete) Basen von (𝔽_{p})^{n} gibt es ?

(b) Wie viele Teilräume der Dimension 1 gibt es in (𝔽_{p})^{n}?

(c) Sei m ∈ ℕ. Wie viele Teilräume der Dimension m gibt es in (𝔽_{p})^{n}?

Aufgabe 7.4. Sei L ein Körper, und sei K ⊂ L ein Teilkörper.

(a) Zeige, dass L ein K-Vektorraum ist, wobei die Addition und die K-Wirkung durch die Addition und die Multiplikation im Körper L definiert sind.

(b) Sei V ⊂ L ein endlich dimensionaler K-Untervektorraum des K-Vektorraums L, mit V ≠ {0}, so dass V unter der Multiplikation in L abgeschlossen ist :

V · V = {uv ∈ L | u, v ∈ V } ⊂ V .

Zeige, dass V ein Teilkörper von L ist.

Hinweis : für x ∈ V zeige, dass xV = {xv ∈ L | v ∈ V } ein Teilraum von V ist, und betrachte die Folge von Teilräumen

xV ⊃ x^{2}V ⊃ x^{3}V ⊃ ….

Aufgabe 7.5. Sei ω = \frac{−1+i\sqrt{3}}{2} ∈ ℂ.

(a) Zeige : ω^{2} + ω + 1 = 0 und ω^{3} = 1.

(b) Sei E = ℂ^{ℂ} (die Menge aller Abbildungen ℂ → ℂ) als ℂ-Vektorraum aufgefasst. Für i = 0, 1, 2 definiert man

E_{i} = {f ∈ E | f(ωx) = ω^{i}f(x) für alle x ∈ ℂ} .

Zeige, dass E_{i} ein Teilraum von E ist.

(c) Beweise : es gilt E = E_{0} ⊕ E_{1} ⊕ E_{2}.

∗Abgabe : Dienstag 4.12.2007, vor der Vorlesung.