http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 8^{∗}, 30.11.2007

Aufgabe 8.1. Entscheide, ob die folgenden Abbildungen K-linear sind, und finde gegebenenfalls eine Basis ihres Kernes und ihres Bildes :

α : ℝ^{3} → ℝ^{2}, α(x, y, z) = (x − 2y, 6y − 3x), für K = ℝ,

β : ℂ → ℂ, β(z) = z̄, für K = ℝ, ℂ, wobei z̄ die zu z konjugierte Zahl ist, γ : ℂ → ℂ, γ(z) = z − z̄, für K = ℝ, ℂ, δ : ℂ → ℂ, δ(z) = |z|, für K = ℝ, ℂ, wobei |z| der Betrag von z ist, ϵ : ℂ → ℂ, ϵ(z) = az + b, mit a, b ∈ ℂ gegeben, und K = ℝ, ℂ, ζ : ℚ^{2} → ℚ^{2}, ζ(x, y) = (2y, x^{2} + 2xy + y^{2}), für K = ℚ, η : (𝔽_{3})^{2} → (𝔽_{3})^{3}, η(x, y) = (2x + y, y − x^{3}, x + 2y), für K = 𝔽_{3} .

Aufgabe 8.2. Sei f : V → W ein Isomorphismus von K-Vektorräumen, sei M ⊂ V eine Teilmenge, und sei f(M) = {f(m) | m ∈ M} ⊂ W das Bild von M unter f.

(a) Zeige : M ist genau dann linear unabhängig, wenn f(M) linear unabhängig ist.

(b) Zeige : M ist genau dann ein Erzeugendensystem von V, wenn f(M) ein Erzeugendensystem von W ist.

(c) Zeige : M ist genau dann eine Basis von V, wenn f(M) eine Basis von W ist.

Aufgabe 8.3. Seien f : V → U und g : V → W K-lineare Abbildungen, mit f surjektiv.

(a) Beweise, dass es genau dann eine Abbildung h : U → W mit g = h ∘ f gibt, wenn Kern(f) ⊂ Kern(g).

(b) Zeige : falls eine Abbildung h wie in (a) existiert, dann ist sie K-linear, eindeutig, und

es gelten Kern(h) = f( Kern(g)) und Bild(h) = Bild(g) .

Definition. Sei V ein K-Vektorraum, und seien U^{+}, U^{−} Teilräume von V. Wir nennen eine lineare Abbildung α : V → V die Symmetrie bezüglich U^{+} entlang U^{−} falls Folgendes gilt :

(i) V = U^{+} ⊕ U^{−}, und (ii) α(x) = x für alle x ∈ U^{+} und α(y) = −y für alle y ∈ U^{−}.

Aufgabe 8.4. Sei V ein K-Vektorraum, und sei α : V → V eine lineare Abbildung. (a) Es sei Char(K) ≠ 2. Beweise, dass α genau dann eine Symmetrie ist, wenn α ∘ α = id_{V}.

(b) Falls Char(K) = 2, folgt aus α ∘ α = id_{V}, dass α die Identität ist ?

Aufgabe 8.5. Sei E = ℝ^{ℝ} der ℝ-Vektorraum aller Abbildungen ℝ → ℝ. Für k ∈ ℤ definiert man g_{k} ∈ E durch g_{k}(x) = cos(kx) und h_{k}(x) ∈ E durch h_{k}(x) = sin(kx).

(a) Zeige, dass die Teilmenge M = {g_{k} | k ≥ 0} ⊂ E linear unabhängig ist.

(b) Zeige, dass die Teilmenge N = {h_{ℓ} | ℓ ≥ 1} ⊂ E linear unabhängig ist.

(c) Zeige, dass die Teilmenge M ∪ N ⊂ E linear unabhängig ist.

∗Abgabe : Dienstag 11.12.2007, vor der Vorlesung.