http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html  Prof. St. Schwede

Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I

Blatt 9^{∗}, 07.12.2007

Aufgabe 9.1. Sei f : ℝ^{4} → ℝ^{3} die durch

f(w, x, y, z) = (w + 2x + 3y + 4z, 2w + 3x + y + 4z, 3w + x + 2y + 4z)

definierte lineare Abbildung.

(a) Gib die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basen von ℝ^{4} und ℝ^{3} an.

(b) Finde Basen A von ℝ^{4} und B von ℝ^{3}, so dass die Matrix C_{B}^{A}(f) von f bezüglich A und B die folgende Gestalt hat :

C_{B}^{A}(f) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .

Aufgabe 9.2. Sei ℂ[x] die ℂ-Algebra der Polynome in der Variable x. Sei P_{n} ⊂ ℂ[x] der Unterraum der Polynome von Grad ≤ n, also P_{n} = {∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} | a_{i} ∈ ℂ}. Sei D : ℂ[x] → ℂ[x] die Ableitung, die durch

D(∑_{i≥0} a_{i}x^{i}) = ∑_{i≥0}(i + 1)a_{i+1}x^{i}

definiert ist (wobei fast alle a_{i} Null sind). Für f ∈ ℂ[x] notieren wir H_{f} : ℂ[x] → ℂ[x] die Multiplikation mit f, also H_{f}(g) = fg für alle g ∈ ℂ[x].

(a) Zeige, dass die Abbildung ϕ = D ∘ H_{x^{2}−1} ∘ D : ℂ[x] → ℂ[x] linear ist.

(b) Beweise : ϕ = 2H_{x} ∘ D + H_{x^{2}−1} ∘ D ∘ D.

(c) Zeige, dass sich ϕ zu einer linearen Abbildung ϕ|_{P_{3}} : P_{3} → P_{3}, g ↦ ϕ(g) einschränken lässt. Berechne die Matrix C_{B}^{B}(ϕ|_{P_{3}}) von ϕ|_{P_{3}} bezüglich der Basis B = {1, x, x^{2}, x^{3}}.

Aufgabe 9.3. Sei V ein K-Vektorraum, und sei End_{K}(V) = {f : V → V | f ist K-linear} der Endomorphismenring von V. Beweise :

(a) Falls dim(V) = 1, dann gibt es einen Isomorphismus von Ringen K ≅ End_{K}(V).

(b) Falls dim(V) > 1, dann ist End_{K}(V) als Ring nicht kommutativ und er besitzt Nullteiler (also existieren α, β ∈ End_{K}(V) mit α ≠ 0 ≠ β und α ∘ β = 0).

Aufgabe 9.4. Seien U, V und W endlichdimensionale Vektorräume. Seien f : U → V und g : V → W lineare Abbildungen. Zeige :

(a) Rang(g ∘ f) ≤ Rang(g),

(b) Rang(g ∘ f) ≤ Rang(f),

(c) Rang(g ∘ f) ≥ Rang(g) + Rang(f) − dim(V). Aufgabe 9.5. Sei α : V → W eine K-lineare Abbildung. Wir nennen eine K-lineare Abbildung β : W → V ein verallgemeinertes Inverses zu α, falls es α ∘ β ∘ α = α und β ∘ α ∘ β = β gelten. Beweise :

(a) Falls α ein Isomorphismus ist, dann ist α^{−1} das einzige verallgemeinerte Inverse zu α.

(b) Falls β ein verallgemeinertes Inverses zu α ist, dann gelten V = Kern(α) ⊕ Bild(β) und W = Kern(β) ⊕ Bild(α).

(c) Falls W endlichdimensional ist, dann existiert ein verallgemeinertes Inverses zu α.

∗Abgabe : Dienstag 18.12.2007, vor der Vorlesung.