http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 10^{∗}, 13.06.2008

Aufgabe 10.1. Entscheide, ob die Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1 \end{matrix}) ∈ M_{4}(𝔽_{5})

trigonalisierbar ist. Bestimme gegebenenfalls eine Jordansche Normalform zu A, und gib eine entsprechende Basiswechselmatrix an.

Aufgabe 10.2. Seien F und G zwei selbstadjungierte Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen euklidischen bzw. unitären Vektorraum. Zeige, dass F G genau dann selbstadjungiert ist, wenn F G = GF.

Aufgabe 10.3. Sei V = ℝ[t] der reelle Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten und sei ψ : V → V die ℝ-lineare Abbildung, die durch

ψ(f(t)) = (t^{2} − 1)f′′(t) + 2tf′(t)

definiert ist. Beweise, dass es für jedes n ≥ 0 ein einziges normiertes Polynom p_{n}(t) ∈ V vom Grad n gibt, das Eigenvektor von ψ ist. Was ist der zu p_{n}(t) gehörende Eigenwert ?

Aufgabe 10.4. Seien V und ψ wie in der vorigen Aufgabe und sei ϕ : V × V → ℝ durch

ϕ(f, g) = ∫_{−1}^{1} f(t)g(t)dt

definiert. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) ϕ ist ein Skalarprodukt auf V.

(b) ψ ist selbstadjungiert bezüglich ϕ.

(c) Die Eigenvektoren {p_{n}(t) | n ≥ 0} bilden eine orthogonale Basis von V.

(d) Wendet man das Gram-Schmidt-Verfahren auf der Basis {t^{i} | i ≥ 0} von V an, so bekommt man die orthonormale Basis {∥p_{i}∥^{−1}p_{i} | i ≥ 0}.

Aufgabe 10.5. Sei n ≥ 1, A ∈ M_{n}(ℝ) und α, β ∈ ℝ sodass

α < Re(λ) < β

für alle (möglicherweise komplexen) Eigenwerte λ von A, wobei Re(λ) den Realteil von λ bezeichnet. Beweise, dass auf ℝ^{n} ein Skalarprodukt s mit assozierter Norm ∥ ∥ existiert, sodass die Relation

α∥x∥^{2} < s(Ax, x) < β∥x∥^{2}

für alle x ∈ ℝ^{n} ∖ {0} gilt.

∗Abgabe : Dienstag 24.06.2008 vor der Vorlesung.