http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 11^{∗}, 20.06.2008

Aufgabe 11.1. Seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume. Zeige, dass

Hom_{K}(V, W) → Hom_{K}(W^{∗}, V^{∗}), F ↦ F^{∗}

ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist. Falls V = W, ist dies ein Isomorphismus

End_{K}(V) → End_{K}(V^{∗})

von K-Algebren ?

Aufgabe 11.2. Es seien U, W Teilräume eines endlich dimensionalen K-Vektorraums V. Wir bezeichnen mit X^{0} ⊂ V^{∗} den orthogonalen Raum eines Teilraums X ⊂ V. Zeige :

(a) (U + W)^{0} = U^{0} ∩ W^{0},

(b) U^{0} + W^{0} = (U ∩ W)^{0}.

Aufgabe 11.3. Sei B = {e_{1}, …, e_{n}} eine Basis eines unitären Vektorraums V. Sei C = {f_{1}, …, f_{n}} eine orthonormale Basis von V, sodass die Transformationsmatrix T_{B}^{C} eine obere Dreiecksmatrix mit reellen positiven Diagonalkoeffizienten ist.

(a) Beweise : C ist die Basis die man bekommt, wenn man auf B das Gram-Schmidt-Verfahren anwendet.

(b) Sei A ∈ M_{n}(ℂ) eine hermitesche positiv definite Matrix. Zeige, dass es eine einzige obere Dreiecksmatrix S ∈ M_{n}(ℂ) mit reellen positiven Diagonalkoeffizienten gibt, sodass A = ^{t}SS̄ gilt.

Aufgabe 11.4. Seien v_{1}, …, v_{p} lineare unabhängige Vektoren des Euklidischen Raums ℝ^{n}. Wir definieren H_{i} = v_{i}^{⊥} und s_{i} die orthogonale Symmetrie bezüglich H_{i}, also

s_{i}(x) = x − 2\frac{⟨x, v_{i}⟩}{∥v_{i}∥}v_{i} für x ∈ ℝ^{n} .

Beweise, dass H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{p} der Eigenraum zum Eigenwert 1 der linearen Abbildung s_{1} ∘ ⋯ ∘ s_{p} ist.

Aufgabe 11.5. Es seien A ∈ M_{k}(ℂ), B ∈ M_{ℓ}(ℂ) und C ∈ M_{ℓ,k}(ℂ), sodass

M = (m_{ij}) = (\begin{matrix}A & ^{t}C̄ \\ C & B \end{matrix}) ∈ M_{k+ℓ}(ℂ)

eine hermitesche positiv definite Matrix ist. Beweise, dass die folgenden Ungleichungen gelten : (a) det(M) ≤ det(A) det(B),

(b) det(M) ≤ ∏_{i=1}^{k+ℓ} m_{ii}.

∗Abgabe : Dienstag 01.07.2008 vor der Vorlesung.