http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 12^{∗}, 27.06.2008

Aufgabe 12.1. Sei A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & −1 & 1 \\ 0 & −1 & 2 & −1 \\ 0 & 1 & −1 & 3 \end{matrix}) ∈ M_{4}(ℝ). Finde die obere Dreiecksmatrix mit

positiven Diagonalkoeffizienten S ∈ M_{4}(ℝ), die die Gleichung ^{t}SS = A erfüllt.

Aufgabe 12.2. Seien V, W endlichdimensionale euklidische Vektorräume und sei F : V → W ein Homomorphismus.

(a) Beweise : Für jeden Teilraum U ⊂ W gilt

F^{ad}(U^{⊥}) = (F^{−1}(U))^{⊥} .

(b) Sei V = W. Ist F selbstadjungiert, so gilt F (U)^{⊥} = (F^{−1}(U))^{⊥} für alle Teilräume U ⊂ V. Gilt die Umkehrung auch ?

Aufgabe 12.3. Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und sei

Ω = {f ∈ End(V) | f^{ad} = −f} ⊂ End(V) .

(a) Sei f ∈ Ω. Zeige, dass id_{V} + f und id_{V} − f Automorphismen von V sind, und dass

u(f) = (id_{V} + f)(id_{V} − f)^{−1}

unitär ist.

(b) Sei Θ = {g ∈ End(V) | g unitär und −1 ist kein Eigenwert von g } ⊂ End(V). Beweise, dass f ↦ u(f) eine Bijektion Ω → Θ definiert.

Aufgabe 12.4. Seien A ∈ M_{n}(ℂ) und x ∈ ℂ^{n} sodass (x, A(x), …, A^{n−1}(x)) linear unabhängig ist. Sei y ∈ ℂ^{n} und Ã_{x,y} = A + x ·^{t}y ∈ M_{n}(ℂ) (hier ist x ·^{t}y das Produkt einer (n × 1)-Matrix mit einer (1 × n)-Matrix).

(a) Bestimme das charakteristische Polynom von Ã_{x,y} in Abhängigkeit vom charakteristischen Polynom von A und von y.

(b) Sei P ∈ ℂ[t] ein unitäres Polynom vom Grad n. Zeige, dass es y ∈ ℂ^{n} gibt, sodass P das charakteristische Polynom von Ã_{x,y} ist.

Aufgabe 12.5. Sei K ein Körper. Man betrachtet die K-Vektorräume K^{ℕ} = {f : ℕ → K} und

K^{(ℕ)} = {f : ℕ → K | f(n) ≠ 0 für höchstens endlich viele n ∈ ℕ}.

(a) Konstruiere einen Isomorphismus zwischen den dualen Raum (K^{(ℕ)})^{∗} und K^{ℕ}.

(b) Beweise, dass es keinen K-Vektorraum W gibt, sodass W^{∗} isomorph zu K^{(ℕ)} ist. Hinweis : Aufgabe 5.5 aus der Linearen Algebra I.

∗Abgabe : Dienstag 08.07.2008 vor der Vorlesung.