http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 2^{∗}, 11.04.2008

Aufgabe 2.1. Sei K ein Körper, n ≥ 1 und A ∈ M_{n}(K). Sei E_{n} ∈ M_{n}(K) die Einheitsmatrix. Beweise :

(a) Für m ≥ 1 ist E_{n} − A ein Teiler von E_{n} − A^{m}.

(b) Falls m ≥ 1 und A^{m} = 0 gilt, dann ist E_{n} − A invertierbar. Wie sieht (E_{n} − A)^{−1} aus ?

Aufgabe 2.2. Zeige : für m, n ≥ 1 sind M_{mn}(K) und M_{m}(M_{n}(K)) als Ringe isomorph.

Aufgabe 2.3. Sei R ein kommutativer Ring. Beweise, dass det(AB) = det(A) det(B) für A, B ∈ M_{n}(R) gilt.

Aufgabe 2.4. Sei λ, μ ∈ K und A_{n} = (a_{ij}) ∈ M_{2n}(K) die Matrix, die durch

a_{ij} = \begin{cases}λ & falls i = j, \\ μ & falls i + j = 2n + 1, \\ 0 & sonst \end{cases}

definiert ist. Berechne det(A_{n}).

Aufgabe 2.5. Sei n ≥ 1, und seien z_{1}, …, z_{n} komplexe Zahlen. Wir definieren

A = (\begin{matrix}z_{1} & z_{2} & … & z_{n−1} & z_{n} \\ z_{2} & z_{3} & … & z_{n} & z_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ z_{n−1} & z_{n} & … & z_{n−3} & z_{n−2} \\ z_{n} & z_{1} & … & z_{n−2} & z_{n−1} \end{matrix}) ∈ M_{n}(ℂ) .

Beweise, dass

det(A) = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} y_{1} … y_{n}

mit y_{k} = ∑_{i=1}^{n} ξ_{n}^{ik}z_{i}, wobei ξ_{n} = e^{\frac{2πi}{n}}. Hinweis : Multipliziere A mit B = (b_{kℓ}), wobei b_{kℓ} = ξ_{n}^{kℓ} ∈ ℂ.

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∗Abgabe : Dienstag 22.04.20078 vor der Vorlesung.