http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 3^{∗}, 18.04.2008

Aufgabe 3.1. Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildung f : 𝕂^{3} → 𝕂^{3}, deren Matrix bezüglich der kanonischen Basis durch

(a) (\begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) (b) (\begin{matrix}3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & −1 & −2 \end{matrix})

gegeben ist, für 𝕂 = ℝ und für 𝕂 = ℂ.

Definition. Ein Polynom f ∈ K[t] heißt irreduzibel, falls f = gh in K[t] impliziert, dass g oder h Grad Null haben. Mit anderen Worten: f is irreduzibel falls es nicht als Produkt von Polynomen kleineren Grades geschrieben werden kann.

Aufgabe 3.2. Zerlege das Polynom t^{8} − 1 ∈ K[t] als Produkt irreduzibler Polynome, wobei

\begin{matrix}(a) K = ℂ & (c) K = ℚ & (e) K = 𝔽_{3} & (g) K = 𝔽_{7} . \\ (b) K = ℝ & (d) K = 𝔽_{2} & (f) K = 𝔽_{5} \end{matrix}

Aufgabe 3.3. Sei V ein K-Vektorraum endlicher Dimension und f : V → V eine Projektion (also f^{2} = f). Berechne das charakteristische Polynom von f.

Aufgabe 3.4. Sei V ein endlich-dimensionaler ℂ-Vektorraum, n ≥ 1 und f : V → V ein Homomorphismus mit f^{n} = 1.

(a) Es sei U ⊂ V ein Unterraum mit f(U) = U und p : V → V eine Projektion auf U, also eine lineare Abbildung mit p^{2} = p und Bild(p) = U. Definiere q : V → V durch

q = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} f^{i}pf^{−i} .

Beweise:

– q ist ebenfalls eine Projektion auf U, und ausserdem kommutiert q mit f (also qf = fq).

– Setze W = Kern(q). Dann gelten V = U ⊕ W und f(W) = W.

(b) Beweise, dass f diagonalisierbar ist.

Aufgabe 3.5. Seien A, B, C, D ∈ M_{n}(K) mit DC = CD und D invertierbar. Beweise :

det (\begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix}) = det(AD − BC) .

Bemerkung : Die Gleichung gilt auch wenn D nicht invertierbar ist.

∗Abgabe : Dienstag 29.04.20078 vor der Vorlesung.