http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 4^{∗}, 25.04.2008

Aufgabe 4.1. Bestimme alle Elemente (α, β, γ) ∈ ℝ^{3}, für welche die Matrix

(\begin{matrix}α & β \\ β & γ \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℝ)

diagonalisierbar ist, und bestimme gegebenenfalls ihre Eigenwerte.

Aufgabe 4.2. Sei f : V → V eine lineare Abbildung, für welche jedes Element in V ein Eigenvektor ist. Beweise, dass f eine Homothetie ist.

Aufgabe 4.3. Sei K ein Körper, n ≥ 1 und seien A, B ∈ M_{n}(K).

(a) Sei L_{A} : M_{n}(K) → M_{n}(K) die lineare Abbildung, die durch L_{A}(X) = AX definiert ist. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von L_{A} in Abhängigkeit von den Eigenwerten und den Eigenräumen von A.

(b) Sei R_{A} : M_{n}(K) → M_{n}(K) die lineare Abbildung, die durch R_{A}(X) = XA definiert ist. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von R_{A} in Abhängigkeit von den Eigenwerten und den Eigenräumen von A.

(c) Sei ϕ_{A,B} : M_{n}(K) → M_{n}(K) durch ϕ_{A,B}(X) = AXB definiert. Falls λ (bzw. μ) ein Eigenwert von A (bzw. von B) ist, zeige, dass λμ ein Eigenwert von ϕ_{A,B} ist. Erhält man auf diese Weise alle Eigenwerte von ϕ_{A,B}?

Aufgabe 4.4. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und seien f, g : V → V lineare Abbildungen. Beweise, dass fg und gf dasselbe charakteristische Polynom haben (betrachte zuerst den Fall wo g ein Isomorphismus ist).

Aufgabe 4.5. Sei L ⊂ M_{2}(K) der Unterraum, der von der Einheitsmatrix E_{2} und von

ε = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

erzeugt ist.

(a) Beweise, dass L eine kommutative Unter-K-Algebra von M_{2}(K) ist.

(b) Sei D eine K-Algebra mit Einheit 1 und einem Element η, das die Gleichung η^{2} = 0 erfüllt, sodass {1, η} eine Basis von D ist. Beweise, dass D und L als K-Algebren isomorph sind.

(c) Wir betrachten K als Unterring von L vermöge λ ↦ λE_{2}. Sei A ∈ M_{n}(K) und sei E_{n} ∈ M_{n}(L) die Einheitsmatrix. Beweise, dass die Gleichung

det (E_{n} + εA) = 1 + ε Spur(A)

in L gilt.

Definition. Die K-Algebra L heißt der Ring der dualen Zahlen über K.

∗Abgabe : Dienstag 06.05.2008 vor der Vorlesung.