http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 5^{∗}, 02.05.2008

Aufgabe 5.1. Sei K ein Körper. Beweise den Satz von Cayley-Hamilton durch direkte Rechnung für Matrizen in M_{2}(K).

Aufgabe 5.2. Trigonalisiere die folgenden Matrizen :

A = (\begin{matrix}−6 & 5 & 7 \\ −3 & 4 & 3 \\ −7 & 5 & 8 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}6 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & 3 \\ −5 & −5 & −4 \end{matrix}) ∈ M_{3}(ℝ).

Zeige zuerst, dass es möglich ist und gib die Matrix eines Basiswechsels an.

Aufgabe 5.3. Sei A ∈ M_{n}(K), und sei M_{A} das Minimalpolynom von A.

(a) Beweise, dass A genau dann invertierbar ist, wenn der konstante Koeffizient von M_{A} nicht Null ist.

(b) Angenommen, A ist invertierbar. Zeige, dass es ein Polynom Q(t) ∈ K[t] mit Q(A) = A^{−1} gibt.

Definition. Zwei Matrizen A, B ∈ M_{n}(K) sind simultan trigonalisierbar, falls es eine Matrix S ∈ GL_{n}(K) gibt, sodass SAS^{−1} und SBS^{−1} obere Dreiecksmatrizen sind.

Aufgabe 5.4. Seien A, B ∈ M_{2}(K) trigonalisierbare Matrizen. Zeige, dass A und B genau dann simultan trigonalisierbar sind, wenn die Gleichung (AB − BA)^{2} = 0 gilt.

Aufgabe 5.5. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, f : V → V eine K-lineare Abbildung, W ⊂ V ein f-invarianter Teilraum und g = f|_{W} : W → W. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Das charakteristische Polynom P_{f} ist ein Vielfaches von P_{g}.

(b) Falls f trigonalisierbar ist, dann ist g auch trigonalisierbar.

(c) Sei f diagonalisierbar mit Eigenräumen V_{1}, …, V_{r}, sodass V = ⨁_{i=1}^{r} V_{i}. Dann gilt

W = ⨁_{i=1}^{r}(W ∩ V_{i}).

(d) Falls f diagonalisierbar ist, dann ist g auch diagonalisierbar.

∗Abgabe : Dienstag 20.05.2008 vor der Vorlesung.