http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 6^{∗}, 09.05.2008

Aufgabe 6.1. Die Fibonacci-Folge {a_{n}}_{n≥0} ist die Folge natürlicher Zahlen definiert durch a_{0} = a_{1} = 1 und a_{n+1} = a_{n} + a_{n−1} für n ≥ 1. Finde eine nicht rekursive Formel für a_{n} (also eine Formel, in der a_{k} mit k ≤ n − 1 nicht erscheint). Hinweis : die lineare Abbildung ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (y, x + y) ist diagonalisierbar.

Aufgabe 6.2. Berechne eine Jordansche Normalform der folgenden reellen Matrizen

A = (\begin{matrix}0 & 1 & −2 & −2 \\ 3 & 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 9 & 12 \\ −4 & −2 & −5 & −7 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ −2 & −2 & −2 & −3 \end{matrix}) C = (\begin{matrix}1 & x & y \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

für beliebige x, y ∈ ℝ und gib entsprechende Basiswechselmatrizen an.

Aufgabe 6.3. Sei V ein K-Vektorraum und seien U, W ⊂ V Teilräume. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) U und W sind komplementäre Teilräume in V.

(b) Die Einschränkung der kanonischen Projektion ρ : V → V/W auf U ist ein Isomorphis-

mus

ρ|_{U} : U → V/W .

Aufgabe 6.4. Sei V ein K-Vektorraum, und ∼ eine Äquivalenzrelation auf V. Für v ∈ V bezeichne [v] = {v′ ∈ V |v′ ∼ v} die Äquivalenzklasse von v. Mit V/∼ bezeichnen wir die Menge aller Äquivalenzklassen. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) V/∼ kann so mit einer K-Vektorraum-Struktur ausgestattet werden, dass die Abbildung

V → V/∼ , v ↦ [v]

K-linear ist.

(b) Es existiert genau ein Teilraum W ⊂ V, sodass V/∼ = V/W.

Aufgabe 6.5. Sei A ∈ M_{n}(K) mit charakteristischem Polynom und Minimalpolynom

P_{A}(t) = ± ∏_{i=1}^{k}(t − λ_{i})^{r_{i}} und M_{A}(t) = ± ∏_{i=1}^{k}(t − λ_{i})^{n_{i}} ,

wobei λ_{1}, …, λ_{k} paarweise verschieden sind. Sei d_{i} = dim Eig(A, λ_{i}) für 1 ≤ i ≤ k und sei M ∈ M_{n}(K) eine Jordansche Normalform von A. Beweise :

(a) λ_{i} erscheint genau r_{i} mal als Diagonalkoeffizient in M.

(b) In M gibt es genau d_{i} Jordanblöcke (verschiedener Größe) zum Eigenwert λ_{i}.

(c) Der größte Block, der in (b) vorkommt, hat genau n_{i} Spalten und Zeilen.

(d) Falls n ≤ 6, ist M eindeutig (bis auf Permutation der Blöcke) von λ_{i} ∈ K und r_{i}, n_{i}, d_{i} ∈ ℕ für 1 ≤ i ≤ k bestimmt.

∗Abgabe : Dienstag 27.05.2008 vor der Vorlesung.