http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 7^{∗}, 23.05.2008

Aufgabe 7.1. Zeige, dass für alle x, y ∈ ℝ^{n} gilt :

(a) ⟨x + y, x − y⟩ = ∥x∥^{2} − ∥y∥^{2}.

(b) ∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} − 2⟨x, y⟩ = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} − 2∥x∥∥y∥ cos(∡(x, y)) (Cosinussatz).

(c) ∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2} = 4⟨x, y⟩.

(d) ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2} (Parallelogramm-Gleichung).

Aufgabe 7.2. Sei × : ℝ^{3} × ℝ^{3} → ℝ^{3} das Vektorprodukt. Für x, y, z ∈ ℝ^{3} beweise die Grassmann-Identität

x × (y × z) = ⟨x, z⟩y − ⟨x, y⟩z

und die Jacobi-Identität

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) = 0 .

Ist das Vektorprodukt assoziativ ?

Aufgabe 7.3. Sei K ein Körper der Chakteristik ungleich 2, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorrraum und s : V × V → K eine symmetrische Bilinearform mit s(v, −) ≠ 0 falls v ≠ 0. Sei q : V → K die zu s gehörige quadratische Form. Ferner sei f : V → V eine K-lineare Abbildung.

(a) Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind :

(1) s(f(v), f(w)) = s(v, w) für alle v, w ∈ V.

(2) q(f(v)) = q(v) für alle v ∈ V.

(3) Falls B eine Basis von V ist und M_{B}(s), M_{B}(f) die darstellenden Matrizen von s und f sind, dann gilt

tM_{B}(f)M_{B}(s)M_{B}(f) = M_{B}(s) .

(b) Beweise, dass {f ∈ End_{K}(V) | f erfüllt die Aussagen in (a)} eine Untergruppe von GL(V) ist.

Aufgabe 7.4. Sei K ein Körper, A, U, V ∈ M_{n}(K) und λ, μ ∈ K, sodass A^{k} = λ^{k}U + μ^{k}V für k = 1, 2, 3 gilt. Beweise, dass A^{k} = λ^{k}U + μ^{k}V für k ≥ 1 gilt.

Aufgabe 7.5. Sei A ∈ M_{n}(ℂ). Eine quadratische Wurzel von A ist eine Matrix B ∈ M_{n}(ℂ) mit B^{2} = A. Sei E_{n} ∈ M_{n}(K) die Einheitsmatrix.

(a) Beweise, dass A eine quadratische Wurzel besitzt falls A − E_{n} nilpotent ist.

(b) Beweise, dass A eine quadratische Wurzel besitzt falls A invertierbar ist.

(c) Finde alle quadratischen Wurzeln der Matrizen

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

∗Abgabe : Dienstag 03.06.2008 vor der Vorlesung.