http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 8^{∗}, 30.05.2008

Aufgabe 8.1. Sei

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & −2 \\ 1 & 0 & −2 & 4 \end{matrix}) ∈ M_{4}(ℝ) .

(a) Beweise, dass a(x, y) = ^{t}xAy ein Skalarprodukt auf ℝ^{4} definiert, und finde eine Orthonormalbasis.

(b) Seien

v_{1} = (1, 0, 0, 0), v_{2} = (0, 1, 0, 0), v_{3} = (1, 1, 1, 1) und v_{4} = (1, 0, 0, 1) ∈ ℝ^{4} .

Berechne Vol(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}).

(c) Berechne die orthogonale Projektion des Vektors v_{4} auf der Hyperebene ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩.

Aufgabe 8.2. Finde alle Skalarprodukte auf ℝ^{n} für welche die kanonische Basis {e_{1}, …, e_{n}} orthogonal ist und Vol(e_{1}, …, e_{n}) = 1.

Aufgabe 8.3. Gibt es auf ℝ^{3} ein Skalarprodukt, sodass Vol(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = \sqrt[3]{2}, wobei

v_{1} = (4, 3, 9), v_{2} = (3, 1, 8) und v_{3} = (2, 4, 2) ?

Aufgabe 8.4. Sei V ein endlich-dimensionaler ℝ-Vektorraum und sei s ein Skalarprodukt auf V. Sei V^{∗} = Hom_{ℝ}(V, ℝ) der Dualraum zu V. Beweise, dass ϕ : V → V^{∗} mit ϕ(v)(w) = s(v, w) ein ℝ-linearer Isomorphismus ist. Gilt die Aussage auch, wenn man ℝ durch ℂ ersetzt ?

Aufgabe 8.5. Betrachte den folgenden Graph mit 10 Ecken P 1, …, P 10 und 15 Kanten.

Man bildet die Matrix A = (a_{ij}) ∈ M_{10}(ℝ) mit a_{ij} = 1 falls P i und P j die Ecken einer Kante sind, und a_{ij} = 0 sonst. Finde die Eigenwerte, das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von A.

∗Abgabe : Dienstag 10.06.2008 vor der Vorlesung.