http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html  Prof. St. Schwede

Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni

ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II

Blatt 9^{∗}, 06.06.2008

Aufgabe 9.1. Bestimme für die Matrix

A = \frac{1}{90} (\begin{matrix}66 & −18\sqrt{6} & 10\sqrt{18} \\ 6\sqrt{6} & 72 & 15\sqrt{12} \\ −14\sqrt{18} & −9\sqrt{12} & 60 \end{matrix})

eine Matrix S ∈ U(3), so dass ^{t}S̄AS Diagonalgestalt hat und eine Matrix T ∈ O(3), sodass für ein α ∈ [0, 2π[ gilt :

tT AT = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(α) & − sin(α) \\ 0 & sin(α) & cos(α) \end{matrix}) .

Aufgabe 9.2. Sei Q : ℝ^{3} → ℝ die quadratische Form

Q(x, y, z) = x^{2} + 4z^{2} − 4xy + 2xz + 2yz .

Bestimme alle Unterräume V ⊂ ℝ^{3} der Dimension 2, sodass die Einschränkung Q|_{V} von Q auf V positiv definit ist.

Aufgabe 9.3. Sei ϕ : M_{n}(ℝ) × M_{n}(ℝ) → ℝ durch ϕ(A, B) = Spur(AB) definiert. (a) Beweise, dass ϕ eine symmetrische Bilinearform mit ϕ(A, −) ≠ 0 für A ≠ 0 ist.

(b) Sei W = {A | A = ^{t}A} ⊂ M_{n}(ℝ) der Unterraum der symmetrischen Matrizen. Beweise, dass die Einschränkung von ϕ auf W positiv definit ist.

(c) Bestimme W^{⊥}, und beweise, dass die Einschränkung von ϕ auf W^{⊥} negativ definit ist (also ϕ(A, A) < 0 für A ∈ W^{⊥} ∖ {0}).

Aufgabe 9.4. Sei K ein Körper und sei A ∈ M_{n}(K). Finde eine notwendige und hinreichende Eigenschaft von A, sodass die Matrix

(\begin{matrix}A & A \\ 0 & A \end{matrix}) ∈ M_{2n}(K)

diagonalisierbar ist.

Aufgabe 9.5. Sei A ∈ M_{10}(ℝ) die Matrix aus der Aufgabe 8.5. Finde eine Basis von jedem Eigenraum. Hinweis: Markiert man jede Ecke P j mit einer reellen Zahl x_{j} bekommt man einen Vektor x ∈ ℝ^{10}, und umgekehrt. Wie bekommt man die Markierung Ax aus der Markierung x, ohne die Matrix A hinschreiben zu müssen ? Gib deine Eigenvektoren als Markierung des Graphs an.

∗Abgabe : Dienstag 17.06.2008 vor der Vorlesung.