Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 10^{∗}, 10.12.2010

Aufgabe 10.1. Sei Ch(Ab) die Kategorie der Kettenkomplexen von Abelschen Gruppen, und sei Gr(Ab) die Kategorie der graduierten Abelschen Gruppen. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Kategorien Ch(Ab) und Gr(Ab) besitzen beliebige Koprodukte.

(b) Der Homologie-Funktor H_{∗} : Ch(Ab) → Gr(Ab) erhält Koprodukte.

Aufgabe 10.2. Sei (X, A) ∈ Top^{2}. Wir definieren die Gruppen der relativen n-Zykeln (mod A) und der relativen n-Ränder (mod A) durch

\begin{aligned}Z_{n}(X, A) & = \{α ∈ S_{n}(X) | d(α) ∈ S_{n−1}(A)\} und \\ B_{n}(X, A) & = B_{n}(X) + S_{n}(A) . \end{aligned}

Beweise die folgenden Aussagen.

(a) B_{n}(X, A) ⊂ Z_{n}(X, A).

(b) Ein natürlicher Isomorphismus \frac{Z_{n}(X,A)}{B_{n}(X,A)} ⟶^{≅} H_{n}(X, A; ℤ) existiert.

Aufgabe 10.3. Sei (X, A) ∈ Top^{2} gegeben, so dass A ein Retrakt von X ist (also: eine stetige Abbildung r : X → A mit ri = id_{A} existiert, wobei i : A → X die Inklusion ist). Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Wir haben in Gr(Ab) ein Isomorphismus

H_{∗}(X; ℤ) ⟶^{≅} H_{∗}(A; ℤ) ⊕ H_{∗}(X, A; ℤ) .

(b) Ist A sogar ein Deformationsretrakt (also ir ≃ id_{X} (rel A) gilt zusätzlich), so folgt H_{∗}(X, A; ℤ) = 0. Bemerkung: Sind A, B, C Abelsche Gruppen mit A ≅ B und A ≅ B ⊕ C, so folgt nicht, dass C = 0. Finde einen Gegenbeispiel.

Aufgabe 10.4. Sei (X, A) ∈ Top^{2}. Definiere

W (X, A) = {X_{λ} ∈ π_{0}(X) | X_{λ} ∩ A = ∅} ,

wobei π_{0}(X) die Menge der Wegzusammenhangskomponenten von X ist. Beweise: die Funktoren H_{0}(−; ℤ) und ℤ{W (−)} : Top^{2} → Ab sind natürlich isomorph.

∗Abgabe : Montag 20.12.2010 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html