Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 11^{∗} 20.12.2010

Aufgabe 11.1. Sei Ch(Ab) die Kategorie der Ketten-Komplexen von Abelschen Gruppen. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Ketten-Homotopie Relation f_{∗} ≃ g_{∗} auf Ch(Ab)(C_{∗}, D_{∗}) ist eine Äquivalenzrelation.

(b) Gelten f_{∗} ≃^{H} g_{∗} in Ch(Ab)(C_{∗}, D_{∗}) und f′∗ ≃^{H′} g′_{∗} in Ch(Ab)(D_{∗}, E_{∗}) so gilt f′_{∗}f_{∗} ≃^{K} g′_{∗}g_{∗} in Ch(Ab)(C_{∗}, E_{∗}). Gib eine Formel für K an.

(c) Ein Morphismus von Ketten-Komplexen f_{∗} : C_{∗} → D_{∗} in Ch(Ab), der ein Isomorphismus in Homologie induziert, nennen wir einen Quasi-Isomorphismus. Zeige, dass ein Quasi-Isomorphismus nicht notwendigerweise eine Ketten-Homotopieäquivalenz ist.

Bemerkung: Sind C_{n} und D_{n} freie Abelsche Gruppen für alle n ∈ ℤ, so ist jeder Quasi-Isomorphismus f_{∗} : C_{∗} → D_{∗} eine Ketten-Homotopieäquivalenz.

Aufgabe 11.2. Beweise Lemma 5.51 aus der Vorlesung: Gegeben sei ein kommutatives Diagram in Ab mit exakten Zeilen

\xymatrix{⋯ \ar[r]^{∂_{n+1}} & A_{n} \ar[r]^{i_{n}} \ar[d]_{f_{n}} & B_{n} \ar[r]^{p_{n}} \ar[d]_{g_{n}} & C_{n} \ar[r]^{∂_{n}} \ar[d]_{h_{n}} & A_{n−1} \ar[r]^{i_{n−1}} \ar[d]_{f_{n−1}} & ⋯ \\ ⋯ \ar[r]^{∂′_{n+1}} & A′_{n} \ar[r]^{i′_{n}} & B′_{n} \ar[r]^{p′_{n}} & C′_{n} \ar[r]^{∂′_{n}} & A′_{n−1} \ar[r]^{i′_{n−1}} & ⋯,}

sodass h_{n} ein Isomorphismus für alle n ist. Sei D_{n} = ∂_{n}h_{n}^{−1}p′_{n} : B′_{n} → A_{n−1}. Dann ist die folgende lange Folge exakt :

⋯ → A_{n} ⟶^{(f_{n},i_{n})} A′_{n} ⊕ B_{n} ⟶^{i′_{n}−g_{n}} B′_{n} ⟶^{D_{n}} A_{n−1} → · · · .

Aufgabe 11.3. Sei X ein Raum, seien U_{1}, U_{2}, U_{3} ⊂ X Teilräumen. Sei angenommen dass die Räumen U_{i}, U_{j} ∩ U_{k}, und U_{1} ∩ U_{2} ∩ U_{3} leer oder zusammenziehbar sind für alle 1 ≤ i, j, k ≤ 3. Beweise, dass H_{n}(X; ℤ) = 0 für n ≥ 2.

Bitte wenden.

∗Abgabe : Montag 10.01.2011 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html

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Aufgabe 11.4. Betrachte die folgeneden Teilräume von ℝ^{2}:

\begin{aligned}X & = \{x ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x_{1} ≤ (2π)^{−1}\} ⊂ ℝ^{2}, \\ C & = \{x ∈ X, | x_{1} = 0, x_{2} ≥ −1\} ∪ \{x ∈ X, | x_{1} > 0, x_{2} ≥ sin(1/x)\} ⊂ X \\ D & = \{x ∈ X, | x_{1} = 0, x_{2} ≤ 1\} ∪ \{x ∈ X, | x_{1} > 0, x_{2} ≤ sin(1/x)\} ⊂ X. \end{aligned}

Beweise die folgenden Aussagen.

(a) C und D sind in X abgeschlossen und X = C ∪ D.

(b) Die “Mayer-Vietoris” Folge

⋯ → H_{n}(C ∩ D; ℤ) → H_{n}(C; ℤ) ⊕ H_{n}(D; ℤ) → H_{n}(X; ℤ) → H_{n−1}(C ∩ D; ℤ) → · · · . ist nicht exakt.

Aufgabe 11.5. Berechne H_{∗}(S^{1} × S^{1}; ℤ).

Aufgabe 11.6. Seien X = S^{1} × S^{1} und Y = S^{1} ∨ S^{1} ∨ S^{2}. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Fundamentalgruppen von X und Y sind nicht isomorph (insbesondere sind X und Y nicht Homotopieäquivalent).

(b) Die Homologiegruppen von X und Y sind isomorph.

(c) Sind X̃ und Ỹ die Universellen Überlagerungen von X, bzw. Y, so sind die Homologie-

gruppen von X̃ und Ỹ nicht isomorph. Hinweis: Vergleiche mit Aufgabe 6.4.

Frohe Festtage und einen guten Rutsch ins neues Jahr !