Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 12^{∗}, 10.01.2011

Aufgabe 12.1. Sei k ∈ ℤ und sei d_{k} : S^{1} → S^{1} durch d_{k}(z) = z^{k} definiert. Sei m ≥ 0 und sei Σ^{m}d_{k} : S^{m+1} → S^{m+1} die iterierte Einhängung von d_{k}, wobei wir Σ^{m}S^{1} und S^{m+1} identifiziert haben. Beweise, dass der Grad von Σ^{m}d_{k} durch deg(Σ^{m}d_{k}) = k gegeben ist.

Aufgabe 12.2. Sei ℓ ∈ ℕ, ℓ ≥ 1 gegeben. Beweise, dass die Abbildung GL_{ℓ}(ℝ) → {±1}, A ↦ det(A)/| det(A)| eine Bijektion

π_{0}(GL_{ℓ}(ℝ), 1) → {±1}

induziert.

Aufgabe 12.3. Sei n ≥ 1, und sei f : ℝ^{n+1} → ℝ^{n+1} ein linearer Isomorphismus. Sei ϕ_{f} : S^{n} → S^{n} durch ϕ_{f}(x) = f(x)/∥f(x)∥ definiert. Beweise (mit Hilfe von Aufgaben 12.1 und 12.2), dass deg(ϕ_{f}) = det(f)/| det(f)|.

Aufgabe 12.4. Sei f : X → Y eine stetige Abbildung. Definiere ihren Abbildungskegel als das punktierte Quotientenraum

C(f) = (Y ⊔ (X × [0, 1]))/ ∼ ,

wobei ∼ die Äquivalenzrelation ist, die von f(x) ∼ (x, 0) und (z, 1) ∼ (z′, 1) für alle x, z, z′ ∈ X erzeugt ist. Der Basispunkt von C(f) ist die Klasse von X × {1}. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) f_{∗} : H_{n}(X; ℤ) → H_{n}(Y; ℤ) ist ein Isomorphismus für alle n ≥ 0.

(b) H̃_{n}(C(f); ℤ) = 0 für alle n ≥ 0.

∗Abgabe : Montag 17.01.2011 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html