Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 13^{∗}, 14.01.2011

Aufgabe 13.1. Bestimme, welche Abelsche Gruppe A (bis auf Isomorphismus) in den folgenden kurzen exakten Folgen auftauchen kann :

(a) 0 → ℤ → A → ℤ/n → 0, n ∈ ℕ,

(b) 0 → ℤ/n → A → ℤ → 0, n ∈ ℕ,

(c) 0 → ℤ/p^{m} → A → ℤ/p^{n} → 0, wobei p eine Primzahl ist.

Aufgabe 13.2. Sei Σ′X die unreduzierte Einhängung von einem Raum X. Konstruiere ein Morphismus von Kettenkomplexen f_{∗} : S_{∗}(X; ℤ) → S_{∗+1}(Σ′X; ℤ), der ein Isomorphismus H̃_{∗}(X; ℤ) → H̃_{∗+1}(Σ′X; ℤ) induziert.

Aufgabe 13.3. Beweise, dass für n ≥ 1 eine steitige Abbildung g : S^{2n−1} → ℂP^{n−1} existiert mit ℂP^{n} ≅ ℂP^{n−1} ⊔_{g} D^{2n}. Berechne dann H_{∗}(ℂP^{n}; ℤ).

Aufgabe 13.4. Sei K die Kleinsche Flasche. Beweise, dass K ≅ (S^{1} ∨ S^{1}) ⊔_{f} D^{2} für eine Abbildung f : S^{1} → S^{1} ∨ S^{1}, und berechne H_{∗}(K; ℤ).

∗Abgabe : Montag 24.01.2011 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html