Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 2^{∗}, 15.10.2010

Aufgabe 2.1. Seien (P, ≤) und (Q, ≤) zwei Quasi-geordnete Mengen, die wir als kleine Kategorien P und Q auffassen.

(a) Beschreibe die Funktoren P → Q.

(b) Gegeben zwei Funktoren F, G : P → Q, unter welchen Bedingungen existiert eine natürliche Transformation F ⇒ G? Wieviele solche Transformationen gibt es dann ?

Aufgabe 2.2. Sei C eine Kategorie, und für X ∈ Ob(C), sei φ^{X} = C(X, −) : C → Set der von X kodargestellte Funktor. Ferner sei Y ∈ Ob(C), und sei η : φ^{X} ⇒ φ^{Y} eine natürliche Transformation.

(a) Beweise, dass genau ein f ∈ C(Y, X) mit η = φ^{f} existiert. Hier ist φ^{f} durch φ_{Z}^{f} : C(X, Z) → C(Y, Z), g ↦ g ∘ f definiert.

(b) Formuliere und beweise die entsprechende “duale” Aussage (für dargestellte Kofunktoren).

Aufgabe 2.3. Betrachte die folgenden Teilräume von ℝ:

ℤ, ℚ, X = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, … \}, Y = X ∪ \{0\} .

(a) Welche sind homöomorph ?

(b) Welche haben den selben Homotopietyp ?

Aufgabe 2.4. Sei S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} | ∥x∥_{2} = 1} die n-Sphäre, versehen mit der Teilraumtopologie des Euklidischen ℝ^{n+1}. Als Basispunkt von S^{n} wählen wir s_{0} = (1, 0, …, 0). Sei f : S^{n} → S^{n} eine (nicht notwendigerweise punktierte) Abbildung. Zeige : gilt n ≥ 1, so ist f homotop zu einer Abbildung g : S^{n} → S^{n} mit f(s_{0}) = s_{0}.

Aufgabe 2.5. Sei (S^{n}, s_{0}) die punktierte n-Sphäre. Beweise die folgenden Aussagen. (a) Sei X ein punktierter Raum. Dann sind X und S^{0} ∧ X homöomorph.

(b) S^{n+1} und S^{1} ∧ S^{n} sind für alle n ≥ 0 homöomorph.

∗Abgabe : Montag 25.10.2010.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html