Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 3^{∗}, 22.10.2010

Aufgabe 3.1. Seien (X, x_{0}), (Y, y_{0}) ∈ Top_{∗}, und seien i_{1} : (X, x_{0}) → (X ∨ Y, ∗) und i_{2} : (Y, y_{0}) → (X∨Y, ∗) die Inklusionen. Beweise, dass ((X∨Y, ∗), i_{1}, i_{2}) das kategorische Koprodukt von (X, x_{0}) und (Y, y_{0}) in Top_{∗} ist.

Aufgabe 3.2. Seien (X, x_{0}), (Y, y_{0}) ∈ Top_{∗}. Sei W = (X × {y_{0}}) ∪ ({x_{0}} × Y) ⊂ X × Y, mit der Teilraumtopologie der Produkttopologie auf X × Y versehen. Beweise, dass die natürliche Abbildung X ∨ Y → W ein Homöomorphismus ist.

Aufgabe 3.3. Sei gegeben ein adjungiertes Paar (L, R) von Funktoren L : C → D, R : D → C. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) L erhält Koprodukte.

(b) R erhält Produkte.

Aufgabe 3.4. Sei (X, x_{0}) ∈ Top_{∗}, so dass die Inklusion ({x_{0}}, x_{0}) → (X, x_{0}) eine punktierte Homotopie-Äquivalenz ist. Sei U eine Umgebung von x_{0} in X. Beweise, dass eine Umgebung V von x mit V ⊂ U existiert, so dass die Inklusion V ⊂ U null-homotop ist.

Aufgabe 3.5. Finde ein Beispiel (X, x_{0}) ∈ Top_{∗} mit X zusammenziehbar, wobei die Inklusion ({x_{0}}, x_{0}) → (X, x_{0}) keine punktierte Homotopie-Äquivalenz ist.

∗Abgabe : Dienstag 2.11.2010 in der Vorlesung.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html