Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 4^{∗}, 29.10.2010

Aufgabe 4.1. Sei X ein Weg-zusammenhängender Raum und a, b ∈ X. Beweise, dass π_{1}(X, a) genau dann Abelsch ist, wenn für alle σ, τ ∈ Ω(X; a, b) die Homomorphismen

T_{[σ]} und T_{[τ]} : π_{1}(X, a) → π_{1}(X, b)

gleich sind.

Aufgabe 4.2. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind :

(a) Ein (X, x_{0}) ∈ Top_{∗} existiert, mit π_{1}(X, x_{0}) ≠ 0.

(b) π_{1}(S^{1}, 1) ≠ 0.

Aufgabe 4.3. Sei X ein Raum, und sei A ⊂ X ein Retrakt von X (also existiert eine stetige Abbildung r : X → A, sodass A ⊂ X ⟶^{r} A die Identität ist).

(a) Nehmen wir an, dass X das Trennungsaxiom T_{1} erfüllt (also: die Punkten in X sind abgeschlossen). Seien a ≠ b ∈ X. Unter welchen Bedingungen ist {a, b} ein Retrakt von X?

(b) Zeige : Ist X Hausdorffsch, so ist A ein abgeschlossener Teilraum von X.

Aufgabe 4.4. Sei (X, x_{0}) ∈ Top_{∗} und α ∈ Ω(X, x_{0}). Sei ᾱ ∈ Top_{∗}((S^{1}, 1), (X, x_{0})) die einzige Abbildung mit α = ᾱ ∘ q, wobei q die Quotientenabbildung [0, 1] → S^{1}, t ↦ e^{2πit} ist. Ferner sei D^{2} = {z ∈ ℂ | |z| ≤ 1} die Kreisscheibe, mit der Teilraumtopologie von ℂ versehen. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) Es gilt α ∼ c_{x_{0}} in Ω(X, x_{0}).

(b) Eine Erweiterung h : D^{2} → X von ᾱ : S^{1} → X existiert. In anderen Worten : eine Abbildung h ∈ Top(D^{2}, X) existiert, mit ᾱ = h ∘ j, wobei j : S^{1} → D^{2} die Inklusion ist.

Aufgabe 4.5. Sei (G, ⋆) eine topologische Gruppe mit e als neutralem Element. Sei c_{e} die konstante Schleife in G mit Bild {e}. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Operation Ω(G, e) × Ω(G, e) → Ω(G, e), die durch (α, β) ↦ α ∗ β mit (α ∗ β)(t) = (α(t)) ⋆ (β(t)) für alle t ∈ [0, 1] gegeben ist, definiert eine Gruppenstruktur auf Ω(G, e) mit c_{e} als neutralem Element.

(b) Die Operation π_{1}(G, e) × π_{1}(G, e) → π_{1}(G, e), ([α], [β]) ↦ [α] ∗ [β] := [α ∗ β] ist wohldefiniert und ist eine Gruppenstruktur auf π_{1}(G, e).

(c) Es gilt [α][β] = [α] ∗ [β] für alle [α], [β] ∈ π_{1}(G, e) (Hinweis : berechne [αc_{e}] ∗ [c_{e}β]).

(d) Die Gruppe π_{1}(G, e) ist Abelsch.

∗Abgabe : Montag 8.11.2010 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html