Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 5^{∗}, 05.11.2010

Aufgabe 5.1. Sei ℝ^{2} mit der Euklidischen Topologie versehen. Sei B ⊂ ℝ^{2} die Vereinigung der Kreise mit Mittelpunkt (0, \frac{1}{n}) und Radius \frac{1}{n} in ℝ^{2} für alle n ≥ 1, versehen mit der Teilraumtopologie (die sog. hawaiischen Ohrringe). Beweise die folgenden Aussagen :

(a) Ein surjektiver Homomorphismus π_{1}(B, 0) → ∏_{ℕ} ℤ existiert.

(b) Die Gruppe π_{1}(B, 0) ist nicht abzählbar.

Aufgabe 5.2. Sei X ein Raum, U_{1} und U_{2} offene Teilmengen mit X = U_{1} ∪ U_{2} und U_{1}, U_{2} und U_{1} ∩ U_{2} wegzusammenhängend. Seien i : U_{1} ∩ U_{2} → X, i_{k} : U_{1} ∩ U_{2} → U_{k} und j_{k} : U_{k} → X die Inklusionen (k = 1, 2). Sei x_{0} ∈ U_{1} ∩ U_{2} gewählt. Beweise die folgenden Varianten des Satzes von Seifert-Van Kampen.

(a) Nehmen wir an, dass i_{∗} : π_{1}(U_{1} ∩ U_{2}, x_{0}) → π_{1}(X, x_{0}) trivial ist. Dann induzieren j_{1} und j_{2} einen Isomorphismus von Gruppen

(π_{1}(U_{1}, x_{0})/N_{1}) ∗ (π_{1}(U_{2}, x_{0})/N_{2}) → π_{1}(X, x_{0}) ,

wobei N_{k} die normale Untergruppe von π_{1}(U_{k}, x_{0}) ist, die von (i_{k})_{∗}(π_{1}(U_{1} ∩ U_{2}, x_{0})) erzeugt ist.

(b) Nehmen wir an, dass (i_{2})_{∗} : π_{1}(U_{1} ∩ U_{2}, x_{0}) → π_{1}(U_{2}, x_{0}) surjektiv ist. Dann induziert (j_{1})_{∗} einen Isomorphismus von Gruppen

π_{1}(U_{1}, x_{0})/M → π_{1}(X, x_{0}) ,

wobei M die normale Untergruppe von π_{1}(U_{1}, x_{0}) ist, die von (i_{1})_{∗}(Kern(i_{2})_{∗}) erzeugt ist.

Aufgabe 5.3. Beweise mit Hilfe vom Satz von Seifert-Van Kampen, dass π_{1}(S^{1} × S^{1}, (1, 1)) und ℤ × ℤ isomorph sind.

Aufgabe 5.4. Verwende den Satz von Seifert-Van Kampen, um π_{1}(ℝP^{2}, ∗) zu bestimmen, wobei ℝP^{2} die reelle projektive Ebene ist.

∗Abgabe : Montag 15.11.2010 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html