Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 6^{∗}, 12.11.2010

Aufgabe 6.1. Sei Y ein Raum. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. (a) Y ist einfach-zusammenhängend.

(b) Y ist nicht leer, und für jedes Paar von stetigen Abbilungen f, g : S^{1} → Y gilt, dass f und g homotop sind.

Aufgabe 6.2. Sei G eine topologische Gruppe mit neutralem Element e, und sei Γ ⊂ G eine Teilgruppe.

(a) Beweise, dass Γ genau dann eine diskrete Teilmenge von G ist, wenn es eine offene Umgebung U von e in G mit U ∩ Γ = {e} gibt.

(b) Sei angenommen, dass Γ eine diskrete Teilgruppe von G ist. Die Gruppe Γ wirkt rechts (bzw. links) auf G durch Multiplikation, und sei G/Γ (bzw. Γ\G) die Menge der Bahnen dieser Wirkung, mit der Quotiententopologie versehen. Beweise, dass die kanonischen Projektionen G → G/Γ und G → Γ\G Überlagerungen sind.

(c) Sei k ∈ ℤ \ {0}. Beweise, dass die Abbildung d_{k} : S^{1} → S^{1}, z ↦ z^{k} eine Überlagerung ist.

Aufgabe 6.3. Sei p : E → M eine Überlagerung mit p^{−1}(x) abzählbar für alle x ∈ M. Ist M eine Mannigfaltigkeit, so ist E auch eine Mannigfaltigkeit.

Aufgabe 6.4. Sei X = S^{1} ∨ S^{2}.

(a) Berechne π_{1}(X, ∗).

(b) Finde eine Überlagerung p : E → X wobei E einfachzusammenhängend ist.

∗Abgabe : Montag 22.11.2010 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html