Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 7^{∗}, 19.11.2010

Aufgabe 7.1. Sei ∼ die Äquivalenzrelation auf ℝ^{2}, die von

(x, y) ∼ (x, y + 1) und (x, y) ∼ (x + 1, −y)

erzeugt ist. Sei K der Quotientenraum ℝ^{2}/ ∼ und sei p : ℝ^{2} → K die kanonische Quotientenabbildung. Beweise, dass p eine Überlagerung ist. Definition: Der Raum K heißt die Kleinsche Flasche.

Aufgabe 7.2. Sei p : E → X eine Überlagerung mit X kompakt, so dass p^{−1}({x}) endlich und nicht leer ist für alle x ∈ X. Beweise, dass E kompakt ist.

Aufgabe 7.3. Sei G eine topologische Gruppe mit neutralem Element 1, und sei

p : E → G

eine Überlagerung mit E zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend. Sei e ∈ p^{−1}({1}) gewählt. Beweise, dass es auf E eine einzige Gruppenstruktur mit e als neutralem Element gibt, so dass E mit seiner Topologie eine topologische Gruppe ist, und p ein Homomorphismus von Gruppen ist. Ist G Abelsch, so ist E auch Abelsch.

Aufgabe 7.4. Sei X ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender Raum. Seien p : E → X und p′ : E′ → X zwei Überlagerungen von X, und sei ϕ : E → E′ ein Morphismus von Überlagerungen. Beweise, dass ϕ eine Überlagerung ist.

∗Abgabe : Montag 29.11.2010 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html