Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 8^{∗}, 26.11.2010

Aufgabe 8.1. Sei p : E → X eine Überlagerung, und sei f : Y → X stetig. Sei f^{∗}E der Teilraum von Y × E, der durch f^{∗}E = {(y, e) | f(y) = p(e)} definiert ist. Sei q : f^{∗}E → Y die Einschränkung der Projektion Y × E → Y. Beweise, dass q : f^{∗}E → Y eine Überlagerung ist.

Aufgabe 8.2. Seien q : F → E und p : E → X Überlagerungen, so dass mindestens eine der folgenden Eigenschaften gilt :

(a) Für alle x ∈ X ist p^{−1}(x) endlich.

(b) X besitzt eine universelle Überlagerung. Beweise, dass pq : F → X dann eine Überlagerung ist.

Aufgabe 8.3. Sei T^{2} = S^{1} ×S^{1} der 2-dimensionale Torus mit Basis-Punkt x_{0} = (1, 1). Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Betrachte ℤ^{2} als diskrete Untergruppe der topologischen Gruppe ℝ^{2}. Dann existiert ein Homöomorphismus ℝ^{2}/ℤ^{2} ≅ T^{2}, und die kanonische Projektion p : ℝ^{2} → ℝ^{2}/ℤ^{2} ist eine universelle Überlagerung.

(b) π_{1}(T, x_{0}) und ℤ^{2} sind Isomorph.

(c) Ist φ : π_{1}(T, x_{0}) → π_{1}(T, x_{0}) ein Isomorphismus von Gruppen, so existiert ein Homöomorphismus f : T → T mit f(x_{0}) = x_{0} und mit f_{∗} = φ : π_{1}(T, x_{0}) → π_{1}(T, x_{0}).

Theorem (Borsuk-Ulam): Ist f : S^{n} → ℝ^{n} stetig, so existiert x ∈ S^{n} mit f(x) = f(−x).

Aufgabe 8.4. Wir beweisen (unter anderem) das obige Theorem für n = 0, 1, 2. Sei k ∈ ℤ\{0}, und sei d_{k} : S^{1} → S^{1} die Abbildung aus Aufgabe 6.2.(c). Sei h : S^{1} → S^{1} eine stetige Abbildung mit h(1) = 1 und h(−x) = −h(x) für alle x ∈ S^{1}.

(a) Zeige, dass eine stetige Abbildung h̄ : S^{1} → S^{1} mit d_{2}h = h̄d_{2} existiert :

\xymatrix{S^{1} \ar[r]^{h} \ar[d]_{d_{2}} & S^{1} \ar[d]^{d_{2}} \\ S^{1} \ar[r]^{h̄} & S^{1} .}

(b) Beweise, dass h̄_{∗} : π_{∗}(S^{1}, 1) → π_{∗}(S^{1}, 1) injektiv ist.

(c) Bestimme (d_{k})_{∗} : π_{∗}(S^{1}, 1) → π_{∗}(S^{1}, 1).

(d) Beweise, dass h_{∗} : π_{∗}(S^{1}, 1) → π_{∗}(S^{1}, 1) injektiv ist. Insbesondere ist h nicht nullhomotop (also nicht homotop zu einer konstanten Abbildung).

(e) Sei f : S^{2} → S^{1} stetig. Zeige, dass ein x ∈ S^{2} existiert mit f(−x) ≠ −f(x). Hinweis : Betrachte die Einschränkung von f auf den Äquator S^{1} = S^{2} ∩ (ℝ^{2} × {0}), und zeige, dass sie null-homotop ist.

(f) Beweise das Theorem von Borsuk-Ulam für n = 0, 1 und 2. Hinweis : gilt f(x) ≠ f(−x), so betrachte \frac{f(x)−f(−x)}{∥f(x)−f(−x)∥}.

∗Abgabe : Montag 6.12.2010 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html